Niemals wird man in den Schuljungenfehler verfallen, zu denken, dx bedeute d mal x, denn d ist kein Faktor, sondern bedeutet ein Element von oder ein Stück von, was immer folgt. Man liest dx also: "dee-iks."
Für den Fall, dass der Leser niemanden hat, der ihn in solchen Dingen anleitet, sei hier einfach gesagt, dass man Differentialkoeffizienten auf folgende Weise liest. Der Differentialkoeffizient
$\dfrac{dy}{dx}$
als dee-ypsilon durch dee-iks oder als dee-ypsilion über dee-iks gelesen. Und entsprechend wird
$\dfrac{du}{dt}$ als dee-uh durch dee-tee gelesen.
Sekundäre Differentialkoeffizienten werden wir später kennenlernen. Sie lauten so: $\dfrac{d^2 y}{dx^2};$ Das heißt "dee-zwei-ypsilion über dee-iks-quadrat" und bedeutet, dass die Operation des Differenzierens von y nach x zweimal durchgeführt wurde (oder werden muss).
Eine weitere Möglichkeit, anzuzeigen, dass eine Funktion differenziert wurde, besteht darin, einen Akzent auf das Symbol der Funktion zu setzen. Wenn also $y=F(x)$, bedeutet, dass y eine nicht spezifizierte Funktion von x ist (siehe hier), können wir F′(x) statt $\dfrac{d\bigl(F(x)\bigr)}{dx}$ schreiben. Analog dazu bedeutet F′′(x), dass die ursprüngliche Funktion F(x) zweimal nach x differenziert wurde.
Nun wollen wir sehen, wie wir nach ersten Prinzipien einige einfache algebraische Ausdrücke differenzieren können.
Lassen Sie uns mit dem einfachen Ausdruck y = x2 beginnen. Erinnern wir uns daran, dass der fundamentale Begriff des Calculus die Idee des Wachsens ist. Mathematiker bezeichnen es als variieren. Da nun y und x2 einander gleich sind, ist klar, dass, wenn x wächst, auch x2 wächst. Und wenn x2 wächst, dann wird auch y wachsen. Was wir herausfinden müssen, ist das Verhältnis zwischen dem Wachstum von y und dem Wachstum von x. Mit anderen Worten: Unsere Aufgabe ist es, das Verhältnis zwischen dy und dx herauszufinden, oder, kurz gesagt, den Wert von $\dfrac{dy}{dx}$ zu bestimmen.
Lassen Sie x also ein wenig größer werden und x + dx werden; ebenso wird y ein wenig größer werden und y + dy werden. Dann stimmt es natürlich immer noch, dass das vergrößerte y gleich dem Quadrat des vergrößerten x sein wird. Wenn wir das aufschreiben, haben wir:
\begin{align*} y + dy &= (x + dx)^2.\\ \text{Wenn wir den quadratischen }\\ \text{Ausdruck auflösen erhalten wir:}\;\\ y + dy &= x^2 + 2x \cdot dx+(dx)^2. \end{align*}
Was bedeutet (dx)2? Erinnern Sie sich, dass dx ein bisschen - ein kleines bisschen - von x bedeutet. Dann bedeutet (dx)2 ein bisschen eines kleines Bisschen von x; das heißt, wie oben (hier) erklärt, ist es eine kleine Menge zweiter Ordnung der Kleinheit. Sie kann daher als ziemlich unbedeutend im Vergleich zu den anderen Termen verworfen werden. Lässt man ihn weg, so ergibt sich:
y + dy = x2 + 2x · dx
Mit y = x2;Subtrahieren wir das von der Gleichung und haben das übrig
dy = 2x · dx
Dividieren durch dx, und wir haben
$\frac{dy}{dx} = 2x$.
Nun das* ist das, was wir zu finden versuchen. Das Verhältnis des Wachstums von y zum Wachstum von x beträgt im vorliegenden Fall 2x.
*Anmerkung: Dieses Verhältnis $\dfrac{dy}{dx}$ ist das Ergebnis der Differenzierung von y nach x. Differenzieren bedeutet, den Differentialkoeffizienten zu finden. Nehmen wir an, wir hätten eine andere Funktion von x, wie z. B. u = 7x2 + 3. Wenn wir dann aufgefordert würden, diese nach x zu differenzieren, müssten wir $\dfrac{du}{dx}$ finden, oder, was dasselbe ist, $\dfrac{d(7x^2 + 3)}{dx}$. Andererseits können wir einen Fall haben, in dem die Zeit die unabhängige Variable ist (siehe hier), wie zum Beispiel: $y = b + \frac{1}{2} at^2$. Wenn wir diesen Ausdruck dann differenzieren sollen, bedeutet das, dass wir seinen Differentialkoeffizienten bezüglich t finden müssen. Unsere Aufgabe wäre es dann, $\dfrac{dy}{dt}$ zu finden, also $\dfrac{d(b + \frac{1}{2} at^2)}{dt}$.
Numerisches Beispiel.
Angenommen, x = 100 und daher ist y = 10000. Dann lasse man x wachsen, bis es 101 wird (d.h. dx = 1). Dann wird das vergrößerte y 101 × 101 = 10201 sein. Wenn wir uns aber darauf einigen, dass wir kleine Mengen zweiter Ordnung ignorieren dürfen, kann 1 gegenüber 10000 verworfen werden; wir können also das vergrößerte y auf 10200 abrunden. y ist von 10000 auf 10200 angewachsen; das hinzugefügte Teil ist dy, das also 2 beträgt.
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{200}{1} = 200$. Nach der Algebra-Arbeit des vorherigen Abschnitts finden wir $\dfrac{dy}{dx} = 2x$. Und so ist es, wenn wir für x = 100 setzen folgt daraus, das 2x = 200 ist.
Aber, werden Sie sagen, wir haben doch eine ganze Einheit vernachlässigt.
Nun, versuchen Sie es noch einmal, indem Sie dx noch ein bisschen kleiner machen. Anstelle davon, dass wir x um 1 Vergrößern, versuchen wir es diesmal mit $dx=\frac{1}{10}$. Dann ist x + dx = 100,1, und
(x + dx)2 = 100,1 × 100,1 = 10020,01.
Nun ist die letzte Zahl 1 nur ein millionstel Teil der 10 000, und ist völlig vernachlässigbar; wir können also 10020 ohne das kleine Komma am Ende nehmen. Und das ergibt dy = 20 und $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{20}{0.1} = 200$, was immer noch das Gleiche ist wie 2x.
Versuchen Sie, y = x3 auf die gleiche Weise zu differenzieren.
Wir lassen y auf y + dy anwachsen, während x auf x + dx anwächst.
Dann haben wir
y + dy = (x + dx)3.
Denn kubischen Ausdruck auflösen und wir erhalten
y + dy = x3 + 3x2 · dx + 3x(dx)2+(dx)3.
Nun wissen wir, dass wir kleine Mengen zweiter und dritter Ordnung vernachlässigen dürfen; denn wenn dy und dx beide sehr (sehr) klein gemacht werden, werden (dx)2 und (dx)3 im Vergleich dazu unendlich klein. Betrachten wir sie also als vernachlässigbar, so bleibt übrig:
y + dy = x3 + 3x2 · dx.
y = x3; und wenn wir das Subtrahieren erhalten wir:
dy = 3x2 · dx,
und
$\frac{dy}{dx}$ = 3x2.
Versuchen Sie, y = x4 zu differenzieren. Indem wir wie zuvor sowohl y als auch x ein wenig wachsen lassen, haben wir:
y + dy = (x + dx)4.
Wenn wir die Erhöhung zur vierten Potenz ausrechnen, erhalten wir
y + dy = x4 + 4x3 dx + 6x2(dx)2 + 4x(dx)3+(dx)4.
Streichen wir dann die Terme, die alle höheren Potenzen von dx enthalten, da sie im Vergleich vernachlässigbar sind, so haben wir
y + dy = x4 + 4x3 dx.
Subtrahieren wir den ursprüngliche Ausdruck y = x4, so haben wir links
dy = 4x3 dx,
und $\frac{dy}{dx} = 4x^3$.
Nun sind alle diese Fälle recht einfach. Lassen Sie uns die Ergebnisse sammeln, um zu sehen, ob wir eine allgemeine Regel ableiten können. Legen Sie sie in zwei Spalten, die Werte von y in die eine und die entsprechenden für $\dfrac{dy}{dx}$ gefundenen Werte in die andere: also
| y | $\frac{dy}{dx}$ |
|---|---|
| x2 | 2x |
| x3 | 3x2 |
| x4 | 4x3 |
Schauen Sie sich diese Ergebnisse an: Die Operation des Differenzierens scheint den Effekt zu haben, die Potenz von x, um 1 zu verkleinern (zum Beispiel im letzten Fall x4 auf x3 zu reduzieren) und gleichzeitig mit einer Zahl zu multiplizieren (und zwar mit derselben Zahl, die ursprünglich als Potenz erschien). Wenn Sie das einmal gesehen haben, können Sie leicht vermuten, wie die anderen Fälle ablaufen werden. Sie würden erwarten, dass das Differenzieren von x5 5x4 ergibt, oder das Differenzieren von x6 6x5. Wenn Sie zögern, probieren Sie eine davon aus und schauen Sie, ob die Vermutung richtig ist.
Versuchen Sie y = x5.
dann y + dy = (x + dx)5
= x5 + 5x4 dx + 10x3(dx)2 + 10x2(dx)3 + 5x(dx)4 + (dx)5.
Vernachlässigen wir alle Terme, die kleine Mengen höherer Ordnungen enthalten, so bleiben
y + dy = x5 + 5x4 dx,
und subtrahieren y = x5 und erhalten
dy = 5x4 dx,
dann $\frac{dy}{dx} = 5x^4$, genau wie wir angenommen haben.
Wenn wir unsere Beobachtung logisch weiterverfolgen, sollten wir zu dem Schluss kommen, dass wir, wenn wir mit einer beliebigen höheren Potenz - nennen wir sie n - umgehen wollen, dies auf die gleiche Weise tun können.
Wenn y = xn ist
Dann sollten wir erwarten, dass
$\frac{dy}{dx} = nx^{(n-1)}$.
Beispielsweise sei n = 8, dann sei y = x8; und das Differenzieren würde $\dfrac{dy}{dx} = 8x^7$ ergeben.
Und in der Tat gilt die Regel, dass das Differenzieren von xn als Ergebnis nxn-1 ergibt, für alle Fälle, in denen n eine ganze Zahl und positiv ist. Die Erweiterung von (x + dx)n durch den binomischen Satz zeigt dies sofort. Aber die Frage, ob diese Regel auch für Fälle gilt, in denen n negative oder gebrochene Werte hat, erfordert weitere Überlegungen.
Im Fall einer negativen Potenz.
Sei y = x-2. Dann verfahren Sie wie zuvor:
y + dy = ( x + dx)-2
$= x^{-2} \left(1 + \frac{dx}{x}\right)^{-2}$.
Erweitert man dies durch den binomischen Lehrsatz (siehe hier), so erhält man
\begin{align*} &=x^{-2} \left[1 - \frac{2\, dx}{x} + \frac{2(2+1)}{1\times 2} \left(\frac{dx}{x}\right)^2 - \text{etc.}\right] \\ &=x^{-2} - 2x^{-3} \cdot dx + 3x^{-4}(dx)^2 - 4x^{-5}(dx)^3 + \text{etc.} \\ \end{align*}
So haben wir unter Vernachlässigung der kleinen Mengen höherer Ordnungen:
y + dy = x-2 - 2x-3 · dx.
Subtrahieren wir den ursprünglichen Ausdruck y = x-2, so finden wir
dy = -2x-3dx,
$\frac{dy}{dx} = -2x^{-3}$.
Und das ist immer noch in Übereinstimmung mit der oben hergeleiteten Regel.
Im Fall einer gebrochenen Potenz.
Sei $y= x^{\frac{1}{2}}$. Dann, wieder wie zuvor,
y + dy = (x+dx)½ = x½ $(1 + \frac{dx}{x} )^{\frac{1}{2}}$
$= \sqrt{x} + \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} - \frac{1}{8} \frac{(dx)^2}{x\sqrt{x}} + $ Terme mit
höheren Potenzen von dx.
Zieht man das ursprüngliche, $y = x^{\frac{1}{2}}$, ab und vernachlässigt die höheren Potenzen, so bleibt folgendes übrig:
\[ dy = \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \cdot dx, \] und $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}$.
Der allgemeinen Regel wird entsprochen.
Zusammenfassung. Schauen wir, wie weit wir gekommen sind. Wir sind zu folgender Regel gelangt: Um xn zu differenzieren, multipliziere mit der Potenz und reduziere die Potenz um eins, so dass wir nxn-1 als Ergebnis erhalten.
Differenzieren Sie die folgenden Ausdrücke:
(1) y = x13
(2) $y = x^{-\frac{3}{2}}$
(3) y = x2a
(4) u = t{2,4}
(5) $z = \sqrt[3]{u}$
(6) $y = \sqrt[3]{x^{-5}}$
(7) $u = \sqrt[5]{\dfrac{1}{x^8}}$
(8) y = 2xa
(9) $y = \sqrt[q]{x^3}$
(10) $y = \sqrt[n]{\dfrac{1}{x^m}}$
Sie haben nun gelernt, wie man Potenzen von x differenziert. Das ist einfach!
(1) $\dfrac{dy}{dx} = 13x^{12}$.
(2) $\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{3}{2} x^{-\frac{5}{2}}$.
(3) $\dfrac{dy}{dx} = 2ax^{(2a-1)}$.
(4) $\dfrac{du}{dt} = 2,4t^{1,4}$.
(5) $\dfrac{dz}{du} = \dfrac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}}$.
(6) $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{5}{3}x^{-\frac{8}{3}}$.
(7) $\dfrac{du}{dx} = -\dfrac{8}{5}x^{-\frac{13}{5}}$.
(8) $\dfrac{dy}{dx} = 2ax^{a-1}$.
(9) $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3}{q} x^{\frac{3-q}{q}}$.
(10) $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{m}{n} x^{-\frac{m+n}{n}}$.