Maxima und Minima

Eine der Hauptanwendungen des Differenzierungsprozesses besteht darin, herauszufinden, unter welchen Bedingungen der Wert der differenzierten Funktion (Gleichung) ein Maximum oder ein Minimum wird. Dies ist oft bei technischen Fragen äußerst wichtig, bei denen es am wünschenswertesten ist zu wissen, unter welchen Bedingungen die Arbeitskosten minimal oder die Effizienz maximal wird.

Nun, um mit einem konkreten Fall zu beginnen, nehmen wir die Gleichung

\[ y = x^2 - 4x + 7. \]

Indem wir x eine Reihe von aufeinanderfolgenden Werten zuweisen und die entsprechenden Werte von y finden, können wir leicht erkennen, dass die Gleichung eine Kurve mit einem Minimum darstellt.

Diese Werte sind in Abbildung 26 dargestellt, die zeigt, dass y anscheinend einen Mindestwert von 3 hat, wenn x gleich 2 gesetzt wird. Aber sind Sie sicher, dass das Minimum bei 2 liegt und nicht bei $2 \tfrac{1}{4}$ oder bei $1 \tfrac{3}{4}$?

Natürlich wäre es mit jedem algebraischen Ausdruck möglich, viele Werte zu berechnen und auf diese Weise nach und nach zu einem bestimmten Wert zu gelangen, der ein Maximum oder ein Minimum sein kann.

Hier ist ein anderes Beispiel:

Sei $y = 3x - x^2$.

Berechnen Sie also ein paar Werte:

Zeichnen Sie die Werte wie in Abbildung 27.

Es ist offensichtlich, dass es ein Maximum irgendwo zwischen $x = 1$ und $x = 2$ geben wird; und die Kurve sieht so aus, als ob der maximale Wert von y ungefähr $2 \tfrac{1}{4}$ betragen sollte. Probieren Sie einige Werte dazwischen aus. Wenn $ x = 1 \tfrac{1}{4} $, ist $ y = 2.187 $; wenn $x = 1 \tfrac{1}{2}$, $y = 2,25$; wenn $x = 1,6$, $y = 2,24$. Wie können wir sicher sein, dass $2,25$ das wirkliche Maximum ist oder dass es genau dann auftritt, wenn $x = 1 \tfrac{1}{2}$ ist?

Jetzt mag es wie Jonglieren klingen, um sicher zu sein, dass es einen Weg gibt, ohne viele Vorversuche oder Vermutungen direkt zu einem maximalen (oder minimalen) Wert zu gelangen. Und dieser Weg hängt von der Differenzierung ab. Schauen Sie auf eine frühere Seite (hier) zurück, um sich die Bemerkungen zu Abb. 14 und Abb. 15 nochmal anzuschauen und Sie werden sehen, dass immer dann, wenn eine Kurve entweder ihre maximale oder ihre minimale Höhe erreicht, an diesem Punkt $\dfrac{dy}{dx} = 0$ ist. Dies gibt uns nun den Hinweis auf den gesuchten Weg. Wenn Ihnen eine Gleichung vorgelegt wird und Sie den Wert von x finden möchten, der y zu einem Minimum (oder einem Maximum) macht, differenzieren Sie sie zuerst, und nachdem Sie dies getan haben, schreiben Sie $\dfrac{dy}{dx}$ als gleich Null und lösen Sie dann nach x auf. Setzen Sie diesen speziellen Wert von x in die ursprüngliche Gleichung ein, und Sie erhalten dann den erforderlichen Wert von y. Dieser Vorgang wird allgemein als (gleich) Null setzen bezeichnet.

Um zu sehen, wie einfach es funktioniert, nehmen Sie das Beispiel, mit dem dieses Kapitel beginnt, nämlich

\[ y = x^2 - 4x + 7. \]

Differenzieren und wir erhalten

\[ \dfrac{dy}{dx} = 2x - 4. \]

Nun das Ganze gleich null setzen:

\[ 2x - 4 = 0. \]

Diese Gleichung nach x auflösen und wir erhalten:

\begin{align*} 2x &= 4, \\ x &= 2. \end{align*}

Jetzt wissen wir, dass das Maximum (oder Minimum) dann erreicht wird, wenn $x = 2$ ist.

Wir setzen den Wert $x = 2$ in die ursprüngliche Gleichung ein und erhalten dann:

\begin{align*} y &= 2^2 - (4 \times 2) + 7 \\ &= 4 - 8 + 7 \\ &= 3. \end{align*}

Schauen Sie zurück auf Abbildung 26, und Sie werden sehen, dass das Minimum an der Stelle $x = 2$ ist, und dass dieses das Minimum von $y = 3$ ist.

Versuchen Sie ein weiteres Beispiel (Abbildung 24), \begin{align*} y &= 3x - x^2. \\ \text{Differenzieren, }\; \frac{dy}{dx} &= 3 - 2x. \\ \end{align*} gleich null setzen, \begin{align*} 3 - 2x &= 0, \\ \text{daher }\; x &= 1 \tfrac{1}{2}; \\ \end{align*}

Wenn wir diesen Wert für x in die ursprüngliche Gleichung einsetzen erhalten wir:

\begin{align*} y &= 4 \tfrac{1}{2} - (1 \tfrac{1}{2} \times 1 \tfrac{1}{2}), \\ y &= 2 \tfrac{1}{4}. \end{align*}

Dies gibt uns genau die gesuchte Information, und lässt uns nicht wie die Methode des Ausprobierens vieler Werte im Ungewissen.

Nun, bevor wir zu weiteren Fällen übergehen, haben wir zwei Anmerkungen. Wenn Sie aufgefordert werden, $\dfrac{dy}{dx}$ mit null gleichzusetzen, empfinden Sie zunächst (wenn Sie einen eigenen Verstand haben) eine Art Groll, weil Sie wissen, dass $\dfrac{dy} {dx}$ an verschiedenen Stellen der Kurve alle möglichen unterschiedlichen Werte hat, je nachdem, ob sie nach oben oder unten geneigt ist. Wenn Sie also plötzlich aufgefordert werden,

\[ \frac{dy}{dx} = 0, \]

zu schreiben, nehmen Sie es übel und fühlen sich geneigt zu sagen, dass es nicht wahr sein kann. Jetzt müssen Sie den wesentlichen Unterschied zwischen einer Gleichung und einer Bedingungsgleichung verstehen. Normalerweise haben Sie es mit Gleichungen zu tun, die an sich wahr sind, aber bei Gelegenheiten, für die diese Aufgaben Beispiele sind, müssen Sie Gleichungen aufschreiben, die nicht unbedingt wahr sind, sondern nur wahr sind, wenn bestimmte Bedingungen erfüllt sind; und Sie schreiben sie auf, um durch Lösen die Bedingungen zu finden, die sie wahr machen. Nun wollen wir den Wert ermitteln, den x hat, wenn die Kurve weder nach oben noch nach unten geneigt ist, d. h., an der Stelle, an der $\dfrac{dy}{dx} = 0$ ist. Das Schreiben von $\dfrac{dy}{dx} = 0$ bedeutet also nicht, dass es immer $=0$ ist; Sie schreiben es jedoch als Bedingung auf, um zu sehen, welchen Wert x besitzt, wenn $ \dfrac{dy}{dx}$ null ist.

Die zweite Anmerkung ist eine, die Sie (wenn Sie einen eigenen Verstand haben) wahrscheinlich bereits gemacht haben: Nämlich, dass dieser vielbeschworene Prozess der Gleichsetzung mit null Ihnen völlig versagt, ob das x, das Sie dadurch erhalten, zu einem maximalen Wert von y oder einem minimalen Wert von y gehören. Der Prozess unterscheidet nicht selbst; er findet für Sie den richtigen Wert von x, lässt Sie aber selbst herausfinden, ob das entsprechende y ein Maximum oder ein Minimum ist. Wenn Sie die Kurve gezeichnet haben, wissen Sie natürlich bereits, was es sein wird.

Nehmen Sie zum Beispiel die Gleichung:

\[ y = 4x + \frac{1}{x}. \]

Ohne darüber nachzudenken, welcher Kurve sie entspricht, differenziere Sie und setzen Sie diese mit null gleich:

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= 4 - x^{-2} = 4 - \frac{1}{x^2} = 0; \\ \text{ daher }\; x &= \tfrac{1}{2}; \\ \end{align*}

den Wert einsetzen, und

\begin{align*} y &= 4 \end{align*}

wird entweder ein Maximum oder ein Minimum sein. Aber was? In Abhängigkeit von der zweiten Differenzierung wird Ihnen im Folgenden ein Weg aufgezeigt (siehe Kap. XII. ). Aber im Moment reicht es, wenn Sie einfach jeden anderen Wert von x ausprobieren, der ein wenig von dem gefundenen abweicht, und sehen, ob mit diesem geänderten Wert der entsprechende Wert von y kleiner oder größer ist als der bereits gefundene.

Versuchen Sie ein anderes einfaches Problem in Maxima und Minima. Angenommen, Sie sollen eine beliebige Zahl in zwei Teile teilen, sodass das Produkt ein Maximum ist? Wie würden Sie es anstellen, wenn Sie den Trick der Gleichsetzung mit null nicht kennen würden? Ich nehme an, Sie könnten es durch wiederholtes versuchen probieren. Lassen Sie 60 die Zahl sein. Sie können versuchen, die Zahl in zwei Teile zu zerlegen und diese miteinander zu multiplizieren. Somit sind $50$ mal 10 $500$; $52$ mal $8$ ist $416$; $40$ mal $20$ ist $800$; $45$ mal $15$ ist $675$; $ 30 $ mal $ 30 $ ist $ 900 $. Dies sieht nach einem Maximum aus: Versuchen Sie es zu variieren. $31$ mal $29$ ist $899$, was nicht so gut ist; und $32$ mal $28$ ist $896$, was noch schlechter ist. Es scheint also, dass das größte Produkt durch die Aufteilung der Zahl in zwei gleichgroße Hälften erreicht wird.

Sie sehen jetzt, was Ihnen der Calculus sagt. Die in zwei Teile zu zerlegende Zahl sei n. Wenn dann x ein Teil ist, ist der andere $n-x$ und das Produkt ist $x(n-x)$ oder $nx-x^2$. Dann schreiben wir $y=nx-x^2$. Jetzt differenzieren und mit null gleichsetzen;

$\dfrac{dy}{dx} = n - 2x = 0 $
für x lösen, und wir erhalten
$\dfrac{n}{2} = x$

Jetzt wissen wir, dass egal welche Zahl n sein mag, sie in zwei gleiche Teile geteilt werden muss, wenn das Produkt der Teile ein Maximum seien, soll; und der Wert dieses maximalen Produkts ist immer $ = \tfrac{1}{4} n^2$.

Dies ist eine sehr nützliche Regel und gilt für eine beliebige Anzahl von Faktoren, so dass, wenn $m+n+p=$ eine konstante Zahl ist, $m \times n \times p$ ein Maximum ist, wenn $m=n =p$ gilt.

Testfall.

Lassen Sie uns unser Wissen sofort auf einen Fall anwenden, den wir testen können.

\begin{align*} \text{Sei } y &= x^2 - x; \end{align*}

Lassen Sie uns herausfinden, ob diese Funktion ein Maximum oder ein Minimum hat; und wenn ja, testen Sie, ob es ein Maximum oder ein Minimum ist.

Differenzieren und wir erhalten:

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= 2x - 1. \\ \text{ gleich null setzen, wir erhalten }\; 2x - 1 &= 0, \\ \text{dann }\; 2x &= 1, \\ \text{und } \; x &= \tfrac{1}{2}. \end{align*}

Das heißt, wenn x zu $=\frac{1}{2}$ gemacht wird, ist der entsprechende Wert von y entweder ein Maximum oder ein Minimum. Wenn wir also $ x = \frac{1}{2} $ in die ursprüngliche Gleichung einfügen, erhalten wir:

\begin{align*} y &= (\tfrac{1}{2})^2 - \tfrac{1}{2}, \\ \; y &= -\tfrac{1}{4}. \end{align*}

Ist das ein Maximum oder ein Minimum? Um das zu testen, setzen Sie einen Wert für x ein, der ein bisschen größer als $\frac{1}{2}$ ist sagen wir $x=0,6$. Dann erhalten wir:

\[ y = (0,6)^2 - 0,6 = 0,36 - 0,6 = -0,24, \]

Was etwas höher wie $-0,25$ ist; und zeigt, das $y = -0,25$ ein Minimum ist.

Zeichne Sie die Kurve und überprüfen Sie die Berechnung.

Weitere Beispiele.

Ein interessantes Beispiel liefert eine Kurve, die sowohl ein Maximum als auch ein Minimum hat. Die Gleichung lautet:

\begin{align*} y &=\tfrac{1}{3} x^3 - 2x^2 + 3x + 1. \\ \text{Dann }\; \dfrac{dy}{dx} &= x^2 - 4x +3. \end{align*}

Gleich null setzen und wir erhalten die quadratische Gleichung:

\[ x^2 - 4x +3 = 0; \]

Und das Lösen der quadratischen Gleichung ergibt zwei Wurzeln, nämlich:

\[ \left\{ \begin{aligned} x &= 3 \\ x &= 1. \end{aligned} \right. \]

Wenn $x=3$ ist, dann ist $y=1$; und wenn $x=1$ ist, dann ist $y=2\frac{1}{3}$. Das erste ist ein Minimum und das zweite ein Maximum.

Die Kurve selbst kann (wie in Abbildung 28) aus den Werten gezeichnet werden, die in der nachfolgenden Tabelle aus der ursprünglichen Gleichung berechnet wurden.

Aufgaben Set 1

Aufgabe 1:

Mach eine Kurvendiskussion (untersuche die folgende Funktionen auf Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte) mit folgenden Funktionen:

• f(x) = x² − x − 2
• f(x) = −x² / 2 + 3x − 5 / 2
• f(x) = x³ − 6x² + 9x

Aufgabe 2:

Untersuche die folgende Funktionen auf Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, und Gleichung bzw. Steigung der Wendetangenten.

• f(x) = x³ / 4 − 3x
• f(x) = x³ / 6 + x²
• f(x) = x³ − 3x² + 4

Lösungen

Aufgabe 1:

a) f(x) = x² − x − 2

f(x) = x² − x − 2
f ′(x) = 2x − 1
f ′′(x) = 2

aa) Nullstellen: f(x) = 0
x² − x − 2 = 0
x_1,2 = 1/2 ± √((1/2)² + 2)
x_1,2 = 1/2 ± √(1/4 + 8 / 4)
x_1,2 = 1/2 ± √(9 / 4)
x_1,2 = 1/2 ± 3/2
x₁ = 2
x₂ = -1
N₁(2|0), N₂(−1|0)

ab) Extremwerte: f ′(x) = 0
2x − 1 = 0
2x = 1
x = 1/2
X-Werte in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzen.
f(x₁) = f(1/2) = 1/4 − 1/2 − 2 = −9/4
E₁(1/2 | −9/4)
Um zu überprüfen ob es sich bei den gefunden Extremwerten um einen Hoch-, Tief- und Wendepunkt handelt wird der X-Wert in die zweite Ableitungen der Funktion eingesetzt.
f ′′(x) = 2
f ′′(x₁) = 2 > 0 ⇒ Tiefpunkt

b) f(x) = −x² / 2 + 3x − 5 / 2

f(x) = −x² / 2 + 3x − 5 / 2
f ′(x) = −x + 3
f ′′(x) = −1

ba) Nullstellen: f(x) = 0
−x² / 2 + 3x − 5 / 2 = 0 | * (−2)
x² − 6x + 5 = 0
x_1,2 = 3 ± √(9 − 5)
x_1,2 = 3 ± √4
x₁ = 5
x₂ = 1
N₁(5|0), N₂(1|0)

bb) Extremwerte: f ′(x) = 0
−x + 3 = 0
x = 3
X-Werte in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzen.
f(x₁) = f(3) = −9 / 2 + 3 * 3 − 5 / 2 = 2
E₁(3|2)
Um zu überprüfen ob es sich bei den gefunden Extremwerten um einen Hoch-, Tief- und Wendepunkt handelt wird der X-Wert in die zweite Ableitungen der Funktion eingesetzt.
f ′′(x) = −1
f ′′(x₁) = −1 < 0 ⇒ Hochpunkt
HP (3|2)

c) f(x) = x³ − 6x² + 9x

f(x) = x³ − 6x² + 9x
f ′(x) = 3x² − 12x + 9
f ′′(x) = 6x − 12
f ′′′(x) = 6

ca) Nullstellen: f(x) = 0
x³ − 6x² + 9x = 0
x(x² − 6x + 9) = = 0
x₁ = 0
x² − 6x + 9 = 0
x_2,3 = 3 ± √(9 − 9) = 3
x₂ = 3
x₃ = 3
N₁(0|0), N₂(3|0), N₃(3|0)

cb) Extremwerte: f ′(x) = 0
3x² − 12x + 9 = 0
x² − 4x + 3 = 0
x_1,2 = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± √1
x₁ = 3
x₂ = 1
X-Werte in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzen.
f(x₁) = f(1) = 1 − 6 + 9 = 4
f(x₂) = f(3) = 27 − 54 + 27 = 0
E₁(1|4), E₂(3|0)

Um zu überprüfen ob es sich bei den gefunden Extremwerten um einen Hoch-, Tief- und Wendepunkt handelt werden X-Werte in die zweite Ableitungen der Funktion eingesetzt.
f ′′(x) = 6x − 12
f ′′(x₁) = f ′′(1) = 6 − 12 = −6 < 0 ⇒ HP(1|4)
f ′′(x₂) = f ′′(3) = 18 − 12 = 6 > 0 ⇒ TP(3|0)

cc) Wendepunkt: f ′′(x) = 0
6x − 12 = 0
x = 2
X-Werte in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzen.
f(x₁) = f(2) = 8 − 24 + 18 = 2
Dritte Ableitung überprüfen f ′′′(x) 6= 0 ?
f ′′′(x) = 6 6= 0 WP (2|2)

Aufgabe 2:

a) f(x) = x³ / 4 − 3x

f(x) = x³ / 4 − 3x
f ′(x) = 3x² / 4 − 3
f ′′(x) = 3 / 2x
f ′′′(x) = 3 / 2

aa) Nullstellen: f(x) = 0
x³ / 4 − 3x = 0
x(x² / 4 − 3) = 0
x₁ = 0
x² / 4 − 3 = 0
x² − 12 = 0
x_2,3 = ±√12
x₂ = √12
x₃ = −√12
N₁(0|0), N₂(√12|0), N₃(−√12|0)

ab) Extremwerte: f ′(x) = 0
3x² / 4 = 3
3x² / 4 = 3
x² / 4 = 1
x² = 4
x_1,2 = ±2
x₁ = 2
x₂ = −2
X-Werte in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzen.
f(x₁) = f(2) = 8 / 4 − 6 = −4
f(x₂) = −8 / 4 + 6 = 4
E₁(2| −4), E₂(−2|4)

Um zu überprüfen ob es sich bei den gefunden Extremwerten um einen Hoch-, Tief- und Wendepunkt handelt werden X-Werte in die zweite Ableitungen der Funktion eingesetzt.
f ′′(x) = 3 / 2x
f ′′(x₁) = f ′′(2) = 3 / 2 * 2 = 3 > 0 ⇒ TP(2| −4)
f ′′(x₂) = f ′′(−2) = 3 / 2 * (−2) = −3 < 0 ⇒ HP(−2|4)

ac) Wendepunkt: f ′′(x) = 0
3 / 2x = 0
x = 0
X-Werte in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzen.
f(x_w) = f(0) = 0
Dritte Ableitung überprüfen f ′′′(x) 6= 0 ?
f ′′′(x) = 3 / 2 6= 0 WP (0|0)

Wendetangente bestimmen:
X-Werte in die erste Ableitung der Funktion einsetzten:
f ′(x_w) = f ′(0) = −3 = m_t
y − y_w = m_t(x − x_w)
y − 0 = −3(x − 0)
y = −3x
t_w = y = −3x

b) f(x) = x³ / 6 + x²

f(x) = x³ / 6 + x²
f ′(x) = x² / 2 + 2x
f ′′(x) = x + 2
f ′′′(x) = 1

ba) Nullstellen: f(x) = 0
x³ / 6 + x² = 0
x²(x / 6 + 1) = 0
x_1,2 = 0
x / 6 + 1 = 0
x / 6 = −1
x₃ = −6
N₁(0|0), N₂(0|0), N₃(−6|0)

bb) Extremwerte: f ′(x) = 0
x² / 2 + 2x = 0
x² + 4x = 0
x(x + 4) = 0
x₁ = 0
x + 4 = 0
x₂ = −4
X-Werte in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzen.
f(x₁) = f(0) = 0
f(x₂) = f(−4) = −64 / 6 + 16 = 51 / 3
E₁(0|0), E₂(−4|51 / 3)

Um zu überprüfen ob es sich bei den gefunden Extremwerten um einen Hoch-, Tief- und Wendepunkt handelt werden X-Werte in die zweite Ableitungen der Funktion eingesetzt.
f ′′(x) = x + 2
f ′′(x₁) = f ′′(0) = 2 ⇒ TP(0|0)
f ′′(x₂) = f ′′(−4) = −2 ⇒ HP(−4|51 / 3)

bc) Wendepunkt: f ′′(x) = 0
x + 2 = 0
x_w = −2
X-Werte in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzen.
f(x_w) = f(−2) = −8 / 6 + 4 = 8 / 3
Dritte Ableitung überprüfen f ′′′(x) 6= 0 ?
f ′′′(x) = 1 6= 0

Wendetangente bestimmen:
X-Werte in die erste Ableitung der Funktion einsetzten:
f ′(x_w) = f ′(−2) = 4 / 2 − 4 = −2 = m_t
y − y_w = m_t(x − x_w)
y − 8 / 3 = −2(x + 2)
y − 8 / 3 = −2x − 4
y = −2x − 4 + 8 / 3
y = −2x − 4 / 3
t_w = y = −2x − 4 / 3

c) f(x) = x³ − 3x² + 4

f(x) = x³ − 3x² + 4
f ′(x) = 3x² − 6x
f ′′(x) = 6x − 6
f ′′′(x) = 6

ca) Nullstellen: f(x) = 0
x³ − 3x² + 4 = 0
Raten x₁ = 2
8 − 12 + 4 = 0
Polydivision liefert x² − x − 2
x² − x − 2 = 0
x_2,3 = 1 / 2 ± √(1 / 4 + 8 / 4)
x_2,3 = 1 / 2 ± 3 / 2
x₂ = 2
x₃ = −1
N₁(2|0), N₂(2|0), N₃(−1|0)

cb) Extremwerte: f ′(x) = 0
3x² − 6x = 0
x(3x − 6) = 0
x₁ = 0
3x − 6 = 0
x₂ = 2
X-Werte in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzen.
f(x₁) = f(0) = 4
f(x₂) = f(2) = 8 − 12 + 4 = 0
E₁(0|4), E₂(2|0)

Um zu überprüfen ob es sich bei den gefunden Extremwerten um einen Hoch-, Tief- und Wendepunkt handelt werden X-Werte in die zweite Ableitungen der Funktion eingesetzt.
f ′′(x) = 6x − 6
f ′′(x₁) = f ′′(0) = −6 ⇒ HP (0|4)
f ′′(x₂) = f ′′(2) = 12 − 6 = 6 ⇒ TP (2|0)

cc) Wendepunkt: f ′′(x) = 0
6x − 6 = 0
x_w = 1
X-Werte in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzen.
f(x_w) = f(1) = 1 − 3 + 4 − 2
Dritte Ableitung überprüfen f ′′′(x) 6= 0 ?
f ′′′(x) = 6 6= 0 WP (1|2)

Wendetangente bestimmen:
X-Werte in die erste Ableitung der Funktion einsetzten:
f ′(x_w) = f ′(1) = 3 − 6 = −3 = m_t
y − y_w = m_t(x − x_w)
y − 2 = −3(x − 1) = −3x + 3
y = −3x + 5
t_w = y = −3x + 5

Aufgaben Set 2

Untersuche die folgende Funktionen auf Nullstellen, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extremwerte, y-Achsensymmetrie und Punktsymmetrie zum Ursprung (0|0) und zeichnen den Graph der Funktion.

• Aufgabe 1: f(x) = x² + 2
• Aufgabe 2: f(x) = −x² + 1
• Aufgabe 3: f(x) = −x² + 4
• Aufgabe 4: f(x) = 2x² + 4

Untersuche die folgende Funktionen auf Nullstellen, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extremwerte, Wendepunkte, y-Achsensymmetrie und Punktsymmetrie zum Ursprung (0|0) und zeichnen den Graph der Funktion.

• Aufgabe 5: f(x) = x³ − x

Lösungen

Aufgabe 1:

f(x) = x² + 2
f ′(x) = 2x
f ′′(x) = 2
f ′′′(x) = 0

a) Nullstellen: f(x) = 0
x² + 2 = 0
x² = −2 → keine Nullstelle vorhanden

b) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen f(x) = 0 und (0|f(0))
Mit der x-Achse gibt es keinen Schnitt siehe a).
y-Achse:
f(x) = x² + 2
x = 0
f(0) = 0² + 2
f(0) = 2
S_y(0|2)

c) Extremwerte f ′(x) = 0
f ′(x) = 2x = 0
2x = 0
x = 0
X-Werte in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzen.
f(x₁) = f(0) = 0² + 2 = 2
E₁(0|2)
Um zu überprüfen ob es sich bei den gefunden Extremwerten um einen Hoch-, Tief- und Wendepunkt handelt wird der X-Wert in die zweite Ableitungen der Funktion eingesetzt
f ′′(x) = 2
f ′′(x₁) = f ′′(0) = 2
f ′′(0) > 0 → Tiefpunkt

d) y-Achsensymmetrie und Punktsymmetrie zum Ursprung (0|0)
y-Achsensymmetrie: f(x) = f(−x)
f(x) ?= f(−x)
x² + 2 ?= (−x)² + 2
x² + 2 = x² + 2
f(x) = f(−x)
Die Funktion ist y-Achsen symmetrisch.

Punktsymmetrie zum Ursprung (0|0): −f(x) = f(−x)
−f(x) ?= f(−x)
−(x² + 2) ?= (−x)² + 2
−x² − 2 6= x² + 2
Die Funktion ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0).

e) Zeichnen den Graph der Funktion

Aufgabe 2:

f(x) = −x² + 1
f ′(x) = −2x
f ′′(x) = −2
f ′′′(x) = 0

a) Nullstellen: f(x) = 0
−x² + 1 = 0
1 = x²
x_1,2 = ±1
x₁ = 1
x₂ = −1
NS_x1(1|0) und NS_x2(−1|0)

b) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen f(x) = 0 und (0|f(0))
Mit der x-Achse gibt es zwei Schnitt siehe a) S_x1(1|0) und S_x2(−1|0).
y-Achse:
f(x) = −x² + 1
x = 0
f(0) = 0² + 1
f(0) = 1
S_y(0|1)

c) Extremwerte f ′(x) = 0
f ′(x) = −2x = 0
−2x = 0
x = 0
X-Werte in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzen.
f(x₁) = f(0) = 0² + 1 = 1
E₁(0|1)
Um zu überprüfen ob es sich bei den gefunden Extremwerten um einen Hoch-, Tief- und Wendepunkt handelt wird der X-Wert in die zweite Ableitungen der Funktion eingesetzt
f ′′(x) = −2
f ′′(x₁) = f ′′(0) = −2
f ′′(0) < 0 → Hochpunkt

d) y-Achsensymmetrie und Punktsymmetrie zum Ursprung (0|0)
y-Achsensymmetrie: f(x) = f(−x)
f(x) ?= f(−x)
−x² + 1 ?= −(−x)² + 1
−x² + 1 = −x² + 1
f(x) = f(−x)
Die Funktion ist y-Achsen symmetrisch.

Punktsymmetrie zum Ursprung (0|0): −f(x) = f(−x)
−f(x) ?= f(−x)
−(−x² + 1) ?= −(−x)² + 1
x² − 1 6= −x² + 1
Die Funktion ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0).

e) Zeichnen den Graph der Funktion

Aufgabe 3:

f(x) = −x² + 4
f ′(x) = −2x
f ′′(x) = −2
f ′′′(x) = 0

a) Nullstellen: f(x) = 0
−x² + 4 = 0
4 = x²
x_1,2 = ±2
x₁ = 2
x₂ = −2
NS_x1(2|0) und NS_x2(−2|0)

b) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen f(x) = 0 und (0|f(0))
Mit der x-Achse gibt es zwei Schnitt siehe a) S_x1(2|0) und S_x2(−2|0).
y-Achse:
f(x) = −x² + 4
x = 0
f(0) = 0² + 4
f(0) = 4
S_y(0|4)

c) Extremwerte f ′(x) = 0
f ′(x) = −2x = 0
−2x = 0
x = 0
X-Werte in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzen.
f(x₁) = f(0) = 0² + 4 = 4
E₁(0|4)
Um zu überprüfen ob es sich bei den gefunden Extremwerten um einen Hoch-, Tief- und Wendepunkt handelt wird der X-Wert in die zweite Ableitungen der Funktion eingesetzt
f ′′(x) = −2
f ′′(x₁) = f ′′(0) = −2
f ′′(0) < 0 → Hochpunkt

d) y-Achsensymmetrie und Punktsymmetrie zum Ursprung (0|0)
y-Achsensymmetrie: f(x) = f(−x)
f(x) ?= f(−x)
−x² + 4 ?= −(−x)² + 4
−x² + 4 = −x² + 4
f(x) = f(−x)
Die Funktion ist y-Achsen symmetrisch.

Punktsymmetrie zum Ursprung (0|0): −f(x) = f(−x)
−f(x) ?= f(−x)
−(−x² + 4) ?= −(−x)² + 4
x² − 4 6= −x² + 4
Die Funktion ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0).

e) Zeichnen den Graph der Funktion

Aufgabe 4:

f(x) = 2x² + 4
f ′(x) = 4x
f ′′(x) = 4
f ′′′(x) = 0

a) Nullstellen: f(x) = 0
2x² + 4 = 0
2x² = −4
x² = −2 → keine Nullstelle vorhanden

b) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen f(x) = 0 und (0|f(0))
Mit der x-Achse gibt es keinen Schnitt siehe a).
y-Achse:
f(x) = 2x² + 4
x = 0
f(0) = 2 * 0² + 4
f(0) = 4
S_y(0|4)

c) Extremwerte f ′(x) = 0
f ′(x) = 4x = 0
4x = 0
x = 0
X-Werte in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzen.
f(x₁) = f(0) = 2 * 0² + 4 = 4
E₁(0|4)
Um zu überprüfen ob es sich bei den gefunden Extremwerten um einen Hoch-, Tief- und Wendepunkt handelt wird der X-Wert in die zweite Ableitungen der Funktion eingesetzt
f ′′(x) = 4
f ′′(x₁) = f ′′(0) = 4
f ′′(0) > 0 → Tiefpunkt

d) y-Achsensymmetrie und Punktsymmetrie zum Ursprung (0|0)
y-Achsensymmetrie: f(x) = f(−x)
f(x) ?= f(−x)
2x² + 4 ?= 2 * (−x)² + 4
2x² + 4 = 2x² + 4
f(x) = f(−x)
Die Funktion ist y-Achsen symmetrisch.

Punktsymmetrie zum Ursprung (0|0): −f(x) = f(−x)
−f(x) ?= f(−x)
−(2x² + 4) ?= 2 * (−x)² + 4
−2x² − 4 6= 2x² + 4
Die Funktion ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0).

e) Zeichnen den Graph der Funktion

Aufgabe 5:

f(x) = x³ − x
f ′(x) = 3x² − 1
f ′′(x) = 6x
f ′′′(x) = 6

a) Nullstellen: f(x) = 0
x³ − x = 0
x(x² − 1) = 0
x₁ = 0
x² − 1 = 0
x₂ = 1
x_2,3 = ±1
NS_x1(0|0), NS_x2(1|0) und NS_x3(−1|0)

b) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen f(x) = 0 und (0|f(0))
Mit der x-Achse gibt es drei Schnittpunkte siehe a) S_x1(0|0), S_x2(1|0) und S_x3(−1|0).
y-Achse:
f(x) = x³ − x
x = 0
f(0) = 0³ − 0
f(0) = 0
S_y(0|0)

c) Extremwerte f ′(x) = 0
f ′(x) = 3x² − 1 = 0
3x² = 1
x² = 1/3
x_1,2 = ±√(1/3) = ±1/√3
X-Werte in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzen.
x₁ = 1/√3
x₂ = −1/√3
f(x₁) = f(1/√3) = (1/√3)³ − 1/√3
= 1/(3√3) − 1/√3
= 1/(3√3) − 3/(3√3)
= −2/(3√3)
E₁(1/√3 | −2/(3√3))

f(x₂) = f(−1/√3) = (−1/√3)³ − (−1/√3)
= −1/(3√3) + 1/√3
= −1/(3√3) + 3/(3√3)
= 2/(3√3)
E₂(−1/√3 | 2/(3√3))

Um zu überprüfen ob es sich bei den gefunden Extremwerten um einen Hoch-, Tief- und Wendepunkt handelt wird der X-Wert in die zweite Ableitungen der Funktion eingesetzt
f ′′(x) = 6x
f ′′(x₁) = f ′′(1/√3) = 6 * 1/√3
f ′′(0) > 0 → Tiefpunkt
TP₁(1/√3 | −2/(3√3))
f ′′(x₂) = f ′′(−1/√3) = −6 * 1/√3
f ′′(0) < 0 → Hochpunkt
HP₁(−1/√3 | 2/(3√3))

d) Wendepunkt
f ′′(x) = 6x = 0
6x = 0
x = 0
f(x) = f(0) = 0
WP(0|0) da f ′′′(x) = 6 6= 0

e) y-Achsensymmetrie und Punktsymmetrie zum Ursprung (0|0)
y-Achsensymmetrie: f(x) = f(−x)
f(x) ?= f(−x)
x³ − x ?= (−x)³ − (−x)
x³ − x 6= −x³ + x
f(x) 6= f(−x)
Die Funktion ist nicht y-Achsen symmetrisch.

Punktsymmetrie zum Ursprung (0|0): −f(x) = f(−x)
−f(x) ?= f(−x)
−(x³ − x) ?= (−x)³ − (−x)
−x³ + x = −x³ + x
−f(x) = f(−x)
Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0).

e) Zeichnen den Graph der Funktion