Begriff der Konzentration
Die Konzentration in der Statistik beschreibt, wie stark eine bestimmte Größe auf wenige Einheiten verteilt ist. Ein Beispiel hierfür ist das Einkommen in einer Bevölkerung: Wenn wenige Personen einen großen Anteil des gesamten Einkommens besitzen, spricht man von hoher Konzentration.
Konzentrationsfläche
Die Konzentrationsfläche ist ein Konzept, das aus der Lorenzkurve abgeleitet wird. Die Lorenzkurve ist ein grafisches Hilfsmittel zur Darstellung der Verteilung einer bestimmten Größe (zum Beispiel Einkommen) innerhalb einer Population.
Lorenzkurve
Um eine Lorenzkurve zu erstellen, werden die Einheiten (zum Beispiel Personen) der Population nach aufsteigender Größe der betrachteten Variable (zum Beispiel Einkommen) sortiert. Dann wird der kumulierte Anteil der Einheiten (auf der horizontalen Achse) gegen den kumulierten Anteil der betrachteten Variable (auf der vertikalen Achse) aufgetragen. Wenn alle Einheiten denselben Anteil der Variable besitzen, verläuft die Lorenzkurve als 45-Grad-Diagonale. Diese Linie wird als "Linie der perfekten Gleichverteilung" bezeichnet.
Konzentrationsfläche
Die Konzentrationsfläche ist die Fläche zwischen der Lorenzkurve und der Linie der perfekten Gleichverteilung. Je größer diese Fläche, desto ungleicher ist die Verteilung und desto höher ist die Konzentration.
Berechnung der Konzentrationsfläche
Die Konzentrationsfläche kann berechnet werden, indem man die Fläche unter der Lorenzkurve von der Fläche unter der Linie der perfekten Gleichverteilung subtrahiert. Mathematisch entspricht dies der Integration der Differenz zwischen den beiden Kurven.
Gini-Koeffizient
Der Gini-Koeffizient ist ein numerisches Maß für die Ungleichverteilung, das direkt aus der Konzentrationsfläche abgeleitet wird. Er wird häufig verwendet, um die Einkommensungleichheit innerhalb einer Bevölkerung zu quantifizieren.
Berechnung des Gini-Koeffizienten
Der Gini-Koeffizient ist definiert als das Verhältnis der Konzentrationsfläche zur Gesamtfläche unter der Linie der perfekten Gleichverteilung. Da die Gesamtfläche unter der 45-Grad-Diagonale 0,5 beträgt, kann der Gini-Koeffizient als das Doppelte der Konzentrationsfläche ausgedrückt werden.
Formel: $G = 2 \times \text{Konzentrationsfläche}$
Eigenschaften des Gini-Koeffizienten
Beispiel
Angenommen, wir betrachten das Einkommen in einer Bevölkerung von 5 Personen mit den folgenden Einkommen: 10, 20, 30, 40 und 100. Zunächst sortieren wir die Einkommen in aufsteigender Reihenfolge. Dann berechnen wir die kumulierten Anteile und erstellen die Lorenzkurve. Durch die Berechnung der Fläche unter der Lorenzkurve und der Fläche unter der perfekten Gleichverteilung können wir die Konzentrationsfläche bestimmen und daraus den Gini-Koeffizienten berechnen.
Anwendung
Der Gini-Koeffizient wird in der Wirtschaftswissenschaft und der Soziologie häufig verwendet, um Einkommens- und Vermögensverteilungen zu analysieren. Er hilft dabei, die Ausmaße der Ungleichheit in verschiedenen Ländern oder Regionen zu vergleichen und die Auswirkungen von Wirtschaftspolitiken zu bewerten.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Konzentrationsfläche und der Gini-Koeffizient wichtige Werkzeuge zur Messung und Analyse von Verteilungen in der Statistik sind. Sie bieten einen klaren und quantitativen Einblick in das Ausmaß der Ungleichheit und helfen dabei, fundierte Entscheidungen in der Politik und Wirtschaft zu treffen.