Lorenzkurve

Einführung in die Lorenzkurve

Die Lorenzkurve ist ein grafisches Werkzeug, das in der Statistik verwendet wird, um die Verteilung einer Größe innerhalb einer Population zu veranschaulichen. Häufig wird sie verwendet, um Einkommens- oder Vermögensverteilungen darzustellen und zu analysieren, wie ungleich diese Verteilungen sind.

Grundbegriffe

Bevor wir die Lorenzkurve im Detail betrachten, sollten einige grundlegende Begriffe geklärt werden:

• Population: Die Gesamtheit der Individuen oder Einheiten, die untersucht wird.
• Merkmal: Eine Eigenschaft oder ein Attribut, das gemessen oder beobachtet wird, wie Einkommen oder Vermögen.
• Kumulierte Anteile: Der aufaddierte Anteil der Population oder des Merkmalswertes bis zu einem bestimmten Punkt.

Erstellung der Lorenzkurve

1. Daten sortieren: Zuerst werden die Daten nach dem zu untersuchenden Merkmal, z. B. Einkommen, in aufsteigender Reihenfolge sortiert.

2. Relative Anteile berechnen: Für jede Einheit in der Population wird der relative Anteil am Gesamtwert des Merkmals berechnet. Dies ist der Anteil des Einkommens eines Individuums am Gesamteinkommen aller Individuen.

3. Kumulative Anteile berechnen: Anschließend werden die relativen Anteile kumuliert. Das bedeutet, dass für jede Einheit der Gesamtanteil des Einkommens bis zu diesem Punkt aufaddiert wird.

4. Punkte der Lorenzkurve bestimmen: Die Punkte der Lorenzkurve werden dann durch die kumulierten Anteile der Population (auf der horizontalen Achse) und die kumulierten Anteile des Merkmals (auf der vertikalen Achse) bestimmt.

5. Kurve zeichnen: Die Lorenzkurve wird gezeichnet, indem man die berechneten Punkte miteinander verbindet.

Interpretation der Lorenzkurve

Die Lorenzkurve beginnt immer am Ursprung (0,0) und endet am Punkt (1,1), der den gesamten kumulierten Anteil der Population und des Merkmals darstellt.

• Gleichverteilung: Wenn das Merkmal gleichmäßig über die Population verteilt ist, liegt die Lorenzkurve auf der Diagonalen, der sogenannten "Gleichverteilungslinie". Diese Linie verläuft vom Ursprung (0,0) zum Punkt (1,1).

• Ungleichverteilung: Je weiter die Lorenzkurve von der Gleichverteilungslinie nach unten abweicht, desto ungleicher ist die Verteilung des Merkmals. Eine Lorenzkurve, die stark gekrümmt ist, zeigt eine hohe Konzentration an, das heißt, wenige Individuen besitzen einen großen Anteil des Gesamteinkommens oder -vermögens.

Beispiel

Betrachten wir ein einfaches Beispiel mit fünf Individuen und deren Einkommen, sortiert in aufsteigender Reihenfolge: 10, 20, 30, 40 und 50 Einheiten.

1. Relative Anteile:

   • Gesamteinkommen: 10 + 20 + 30 + 40 + 50 = 150 Einheiten.
   • Relative Anteile: 10/150, 20/150, 30/150, 40/150, 50/150.

2. Kumulative Anteile:

   • Individuum 1: 10/150 = 0,0667
   • Individuum 2: (10 + 20)/150 = 0,2
   • Individuum 3: (10 + 20 + 30)/150 = 0,4
   • Individuum 4: (10 + 20 + 30 + 40)/150 = 0,6667
   • Individuum 5: (10 + 20 + 30 + 40 + 50)/150 = 1

3. Punkte der Lorenzkurve:

   • (0, 0)
   • (0,2; 0,0667)
   • (0,4; 0,2)
   • (0,6; 0,4)
   • (0,8; 0,6667)
   • (1, 1)

Die Punkte werden dann auf ein Koordinatensystem übertragen und miteinander verbunden, um die Lorenzkurve zu erhalten.

Zusammenfassung

Die Lorenzkurve ist ein effektives Mittel, um die Konzentration einer Verteilung grafisch darzustellen und zu analysieren. Sie bietet eine anschauliche Darstellung der Ungleichheit in einer Population und hilft, verschiedene Verteilungen miteinander zu vergleichen.