Messung der Konzentration mit Hilfe von Variationskoeffizienten

Einführung in die Konzentrationsmessung

In der Statistik versteht man unter Konzentration die Verteilung einer Gesamtmenge (z.B. Einkommen, Vermögen) auf verschiedene Einheiten (z.B. Personen, Unternehmen). Eine hohe Konzentration bedeutet, dass wenige Einheiten einen großen Anteil der Gesamtmenge besitzen, während eine niedrige Konzentration darauf hinweist, dass die Gesamtmenge gleichmäßiger verteilt ist.

Variationskoeffizient als Maß der Streuung

Der Variationskoeffizient (VK), auch als relative Standardabweichung bekannt, ist ein statistisches Maß, das die Streuung einer Verteilung in Relation zum Mittelwert dieser Verteilung setzt. Er wird verwendet, um die Streuung unterschiedlicher Datensätze zu vergleichen, auch wenn diese unterschiedliche Einheiten oder Mittelwerte haben.

Berechnung des Variationskoeffizienten

Der Variationskoeffizient wird wie folgt berechnet:

$\text{VK} = \frac{\sigma}{\mu} \times 100\%$

Hierbei steht:

• $\sigma$ für die Standardabweichung der Daten.
• $\mu$ für den Mittelwert der Daten.

Beispiel zur Berechnung des Variationskoeffizienten

Angenommen, wir haben eine Datenreihe, die die Einkommen einer kleinen Gruppe von Personen darstellt:

$3000, 4000, 5000, 6000, 7000$

1. Berechnung des Mittelwerts ((\mu)):

   $\mu = \frac{3000 + 4000 + 5000 + 6000 + 7000}{5} = 5000$

2. Berechnung der Standardabweichung $(\sigma)$:

   Zuerst berechnen wir die Abweichungen der einzelnen Werte vom Mittelwert und quadrieren diese:

   $ (3000 - 5000)^2 = 4000000 \ (4000 - 5000)^2 = 1000000 \ (5000 - 5000)^2 = 0 \ (6000 - 5000)^2 = 1000000 \ (7000 - 5000)^2 = 4000000 \ $

   Dann summieren wir diese quadrierten Abweichungen:

   $4000000 + 1000000 + 0 + 1000000 + 4000000 = 10000000$

   Schließlich berechnen wir die Varianz $(s^2)$ und die Standardabweichung $(\sigma)$:

   $ s^2 = \frac{10000000}{5} = 2000000 \ \sigma = \sqrt{2000000} \approx 1414.21 \ $

3. Berechnung des Variationskoeffizienten (VK):

   $ VK = \frac{1414.21}{5000} \times 100\% \approx 28.28\% $

Dieser Wert des Variationskoeffizienten zeigt, dass die Einkommen eine relative Streuung von etwa 28.28% um den Mittelwert aufweisen.

Interpretation des Variationskoeffizienten

Der Variationskoeffizient ermöglicht es, die relative Streuung von Datensätzen zu vergleichen, selbst wenn diese unterschiedliche Mittelwerte haben. Ein höherer Variationskoeffizient bedeutet eine größere relative Streuung und damit eine höhere Konzentration. Zum Beispiel:

• Ein VK von 10% deutet auf eine geringere Streuung und damit auf eine gleichmäßigere Verteilung hin.
• Ein VK von 50% zeigt eine höhere Streuung und damit eine ungleichmäßigere Verteilung an.

Anwendung in der Praxis

In der Praxis wird der Variationskoeffizient häufig verwendet, um die Ungleichheit in verschiedenen Bereichen zu messen:

• Einkommensverteilung: Ein hoher VK zeigt eine große Ungleichheit im Einkommen an, während ein niedriger VK auf eine gleichmäßigere Verteilung hinweist.
• Vermögensverteilung: Ein hoher VK deutet darauf hin, dass wenige Personen einen großen Teil des Vermögens besitzen.

Der Variationskoeffizient ist ein nützliches Werkzeug in der Statistik, um die relative Streuung und Konzentration von Daten zu verstehen und zu vergleichen. Seine Fähigkeit, die Streuung unabhängig von den Einheiten der Daten zu messen, macht ihn besonders wertvoll für vergleichende Analysen in verschiedenen Anwendungsbereichen.