Normierte Häufigkeitsverteilung

Um die Idee der normierten Häufigkeitsverteilung vollständig zu verstehen, müssen wir zunächst einige grundlegende Konzepte klären.

Häufigkeitsverteilung
Eine Häufigkeitsverteilung zeigt, wie oft verschiedene Werte eines Merkmals in einem Datensatz vorkommen. Stellen wir uns vor, wir haben eine Gruppe von Schülern und erfassen ihre Noten in einer Mathematikprüfung. Die Häufigkeitsverteilung würde dann zeigen, wie viele Schüler jede Note (z.B. 1, 2, 3, 4, 5, 6) erhalten haben.

Absolute und Relative Häufigkeit

• Absolute Häufigkeit ($h_i$): Dies ist die Anzahl der Vorkommen eines bestimmten Wertes. Beispielsweise, wenn 5 Schüler die Note 2 bekommen haben, ist die absolute Häufigkeit für die Note 2 gleich 5.
• Relative Häufigkeit ($f_i$): Dies ist der Anteil der absoluten Häufigkeit eines Wertes an der Gesamtanzahl der Beobachtungen. Sie wird berechnet, indem die absolute Häufigkeit durch die Gesamtanzahl der Beobachtungen geteilt wird. Wenn es insgesamt 30 Schüler gibt, die die Prüfung abgelegt haben, ist die relative Häufigkeit für die Note 2 gleich $\frac{5}{30} = 0,167$ oder 16,7%.

Normierung der Häufigkeitsverteilung
Eine normierte Häufigkeitsverteilung ist eine spezielle Form der Häufigkeitsverteilung, bei der die Summe aller relativen Häufigkeiten gleich 1 ist. Diese Normierung macht es einfacher, Häufigkeitsverteilungen zu vergleichen, insbesondere wenn die Gesamtanzahl der Beobachtungen unterschiedlich ist.

Die relative Häufigkeit ($f_i$) kann als Wahrscheinlichkeit interpretiert werden, dass ein zufällig ausgewähltes Element aus der statistischen Masse den Wert $x_i$ hat.

Berechnung der Normierten Häufigkeitsverteilung

Um eine normierte Häufigkeitsverteilung zu erstellen, gehen wir wie folgt vor:

1. Bestimmen der absoluten Häufigkeiten
   Zuerst zählen wir, wie oft jeder Wert in unserem Datensatz vorkommt. Angenommen, wir haben die Noten 1, 2, 3, 4, 5 und 6, und ihre absoluten Häufigkeiten sind wie folgt:

   Note	Absolute Häufigkeit
   1	3
   2	5
   3	8
   4	6
   5	4
   6	4

2. Berechnen der relativen Häufigkeiten
   Die relative Häufigkeit wird berechnet, indem jede absolute Häufigkeit durch die Gesamtanzahl der Beobachtungen geteilt wird. Wenn es insgesamt 30 Beobachtungen (Schüler) gibt, dann:

   Note	Absolute Häufigkeit	Relative Häufigkeit
   1	3	$\frac{3}{30} = 0,1$ (10%)
   2	5	$\frac{5}{30} = 0,167$ (16,7%)
   3	8	$\frac{8}{30} = 0,267$ (26,7%)
   4	6	$\frac{6}{30} = 0,2$ (20%)
   5	4	$\frac{4}{30} = 0,133$ (13,3%)
   6	4	$\frac{4}{30} = 0,133$ (13,3%)

3. Überprüfen der Normierung
   Eine normierte Häufigkeitsverteilung bedeutet, dass die Summe der relativen Häufigkeiten gleich 1 ist. In unserem Beispiel ergibt sich:

   $0,1 + 0,167 + 0,267 + 0,2 + 0,133 + 0,133 = 1$

Vorteile der Normierten Häufigkeitsverteilung

• Vergleichbarkeit: Normierte Häufigkeitsverteilungen ermöglichen den Vergleich von Datensätzen unterschiedlicher Größe. Dies ist besonders nützlich, wenn man die Verteilungen verschiedener Gruppen oder Zeiträume vergleichen möchte.
• Wahrscheinlichkeitsinterpretation: Die relativen Häufigkeiten können direkt als Wahrscheinlichkeiten interpretiert werden. Dies ist nützlich für statistische Analysen und Modellierungen.
• Visualisierung: Normierte Häufigkeitsverteilungen sind oft leichter zu interpretieren, wenn sie in Diagrammen wie Histogrammen oder Balkendiagrammen dargestellt werden.

Beispiel einer Normierten Häufigkeitsverteilung
Betrachten wir ein Beispiel aus der Praxis. Angenommen, wir untersuchen die Anzahl der Kunden, die verschiedene Produkte in einem Supermarkt kaufen. Wir haben die folgenden Daten:

• Produkt A: 50 Kunden
• Produkt B: 30 Kunden
• Produkt C: 20 Kunden

Die Gesamtanzahl der Kunden beträgt 100. Die normierte Häufigkeitsverteilung wäre:

• Produkt A: $\frac{50}{100} = 0,5$ (50%)
• Produkt B: $\frac{30}{100} = 0,3$ (30%)
• Produkt C: $\frac{20}{100} = 0,2$ (20%)

In einem Diagramm dargestellt, wäre dies ein Balkendiagramm mit drei Balken, wobei die Höhe der Balken die relative Häufigkeit (Wahrscheinlichkeit) jedes Produkts darstellt.

Zusammenfassend hilft die normierte Häufigkeitsverteilung dabei, Daten zu strukturieren und zu interpretieren, indem sie die Häufigkeiten standardisiert und vergleichbar macht. Dies ist ein grundlegendes Werkzeug in der Statistik, das sowohl für deskriptive als auch für inferenzstatistische Analysen von großer Bedeutung ist.