Verteilungstypen

Einführung
In der Statistik beschreibt eine Verteilung die Häufigkeit, mit der verschiedene Werte einer Variable in einer Datenreihe vorkommen. Ein Verteilungstyp bezieht sich auf die allgemeine Form oder das Muster, das durch die Verteilung der Datenwerte entsteht. Es gibt mehrere gängige Verteilungstypen, von denen jeder bestimmte Eigenschaften aufweist.

Gleichverteilung (Uniformverteilung)
Eine Gleichverteilung, auch Uniformverteilung genannt, ist ein Verteilungstyp, bei dem alle Werte innerhalb eines bestimmten Bereichs mit gleicher Häufigkeit auftreten. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Wert zu erhalten, für alle Werte im betrachteten Bereich gleich ist.

Beispiel: Wenn man einen fairen sechsseitigen Würfel wirft, hat jede Zahl von 1 bis 6 die gleiche Wahrscheinlichkeit von 1/6, aufzutreten.

Normalverteilung (Gaußsche Verteilung)
Die Normalverteilung, auch Gaußsche Verteilung genannt, ist eine der bekanntesten Verteilungen in der Statistik. Sie ist glockenförmig und symmetrisch um ihren Mittelwert. Die meisten Datenwerte konzentrieren sich um den Mittelwert, und die Häufigkeit der Werte nimmt ab, je weiter man sich vom Mittelwert entfernt. Die Normalverteilung wird durch zwei Parameter bestimmt: den Mittelwert (μ) und die Standardabweichung (σ).

Eigenschaften der Normalverteilung:

• Symmetrie: Die Verteilung ist symmetrisch um den Mittelwert.
• Glockenform: Die Form der Verteilung ist glockenförmig.
• Mittelwert, Median und Modus sind identisch und befinden sich in der Mitte der Verteilung.
• Etwa 68% der Daten liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert, etwa 95% innerhalb von zwei Standardabweichungen und etwa 99,7% innerhalb von drei Standardabweichungen.

Beispiel: Körpergrößen in einer Bevölkerung folgen oft einer Normalverteilung.

Schiefe Verteilungen (Links- und Rechtsschiefe Verteilung)
Schiefe Verteilungen sind asymmetrische Verteilungen, bei denen die Häufigkeit der Datenwerte auf einer Seite des Mittelwerts höher ist als auf der anderen. Es gibt zwei Arten von schiefen Verteilungen:

• Rechtsschiefe Verteilung (positiv schief): Der "Schwanz" der Verteilung liegt auf der rechten Seite. Dies bedeutet, dass die meisten Datenwerte kleiner sind, aber es einige große Ausreißer gibt. Beispiel: Einkommen in einer Bevölkerung sind oft rechtsschief verteilt, da die meisten Menschen ein geringeres Einkommen haben und nur wenige sehr hohe Einkommen.

• Linksschiefe Verteilung (negativ schief): Der "Schwanz" der Verteilung liegt auf der linken Seite. Dies bedeutet, dass die meisten Datenwerte größer sind, aber es einige kleine Ausreißer gibt. Beispiel: Lebensdauer von Maschinen, wenn die meisten Maschinen lange halten, aber einige frühzeitig ausfallen.

Bimodale Verteilung
Eine bimodale Verteilung hat zwei "Modi" oder Gipfel. Dies bedeutet, dass es zwei unterschiedliche Wertebereiche gibt, in denen die Datenwerte häufiger auftreten als in anderen Bereichen. Eine bimodale Verteilung kann entstehen, wenn zwei unterschiedliche Gruppen in den Daten vorhanden sind.

Beispiel: Die Verteilung der Körpergrößen in einer gemischten Gruppe von Männern und Frauen könnte bimodal sein, da Männer im Durchschnitt größer sind als Frauen, was zwei Gipfel in der Verteilung erzeugt.

Exponentialverteilung
Die Exponentialverteilung beschreibt die Zeit zwischen Ereignissen in einem Poisson-Prozess, bei dem Ereignisse kontinuierlich und unabhängig voneinander auftreten. Die Verteilung ist rechtsschief und hat ihren höchsten Punkt am Anfang, wobei die Häufigkeit der Werte exponentiell abnimmt.

Eigenschaften der Exponentialverteilung:

• Sie ist rechtsschief.
• Der Mittelwert und die Standardabweichung sind gleich.
• Sie wird häufig zur Modellierung der Lebensdauer von Produkten und der Wartezeit bis zum nächsten Ereignis verwendet.

Beispiel: Die Zeit zwischen Anrufen in einem Callcenter oder die Lebensdauer von Glühbirnen.

Logarithmische Normalverteilung (Log-Normalverteilung)
Eine Logarithmische Normalverteilung tritt auf, wenn die logarithmierten Werte einer Variable normalverteilt sind. Die Verteilung ist rechtsschief und wird häufig verwendet, um Daten zu modellieren, die nur positive Werte annehmen können und eine große Streuung aufweisen.

Beispiel: Einkommen, Börsenkurse und viele biologische Messungen wie die Größe von Lebewesen.

Zusammenfassung
Das Verständnis der verschiedenen Verteilungstypen ist entscheidend für die Analyse und Interpretation von Daten. Jeder Verteilungstyp hat spezifische Eigenschaften und Anwendungen, die helfen, die zugrunde liegenden Muster und Zusammenhänge in den Daten zu erkennen. Indem man die Form und die Merkmale einer Verteilung identifiziert, kann man bessere Schlussfolgerungen ziehen und geeignete statistische Methoden anwenden.