Lassen Sie uns versuchen, herauszufinden welchen Effekt die mehrmals angewendete Differenzierung einer Funktion (siehe hier) hat. Beginnen Sie mit einem konkreten Fall.
Sei y = x5.
Erste Differenzierung, 5x4.
Zweite Differenzierung, 5 × 4x3 = 20x3.
Dritte Differenzierung, 5 × 4 × 3x2 = 60x2.
Vierte Differenzierung, 5 × 4 × 3 × 2x = 120x.
Fünfte Differenzierung, 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Sechste Differenzierung, = 0.
Es gibt eine bestimmte Notation, mit der wir bereits vertraut sind , die von einigen Autoren verwendet wird, diese ist sehr praktisch. Das allgemeine Symbol f(x) wird für jede Funktion von x verwendet. Das Symbol f( ) wird hier als Funktion von gelesen, ohne zu sagen, welche bestimmte Funktion gemeint ist. Die Anweisung y = f(x) sagt uns also nur, dass y eine Funktion von x ist, es kann x2 oder axn oder cos x oder eine andere komplizierte Funktion von x sein.
Das entsprechende Symbol für den Differential Koeffizienten ist f′(x), was einfacher zu schreiben ist wie $\dfrac{dy}{dx}$. Dies wird als die abgeleitete Funktion von x beziehungsweise als die nach x abgeleitete Funktion bezeichnet.
Angenommen, wir differenzieren noch einmal, wir erhalten die zweite abgeleitete Funktion oder den zweiten Differentialkoeffizienten, der mit $f"(x)$ bezeichnet wird; und so weiter.
Lassen Sie uns nun verallgemeinern.
Sei y = f(x) = xn.
Erste Ableitung, f′(x) = nxn-1.
Zweite Ableitung, f″(x) = n(n-1)xn-2.
Dritte Ableitung, f″′(x) = n(n-1)(n-2)xn-3.
Vierte Ableitung, f″″(x) = n(n-1)(n-2)(n-3)xn-4.
etc., etc.
Dies ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit, aufeinanderfolgende Differenzierungen anzuzeigen. Für,
\begin{align*} \text{wenn die ursprüngliche Funktion}\; y &= f(x); \\ \text{ist, ergibt einmal differenzieren}\; \frac{dy}{dx} &= f'(x); \\ \text{und zweimal differenzieren}\; \frac{d\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx} &= f''(x); \end{align*}
und das ist deutlich angenehmer zu schreiben als $\dfrac{d^2y}{(dx)^2}$ oder $\dfrac{d^2y}{dx^2}$. Ebenso können wir das Ergebnis der dritten Ableitung so $\dfrac{d^3y}{dx^3} = f'''(x)$ schreiben.
Beispiele
Lassen Sie uns folgendes ausprobieren: $y = f(x) = 7x^4 + 3.5x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 2$.
\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= f'(x) = 28x^3 + 10.5x^2 - x + 1, \\ \frac{d^2y}{dx^2} &= f''(x) = 84x^2 + 21x - 1, \\ \frac{d^3y}{dx^3} &= f'''(x) = 168x + 21, \\ \frac{d^4y}{dx^4} &= f''''(x) = 168, \\ \frac{d^5y}{dx^5} &= f'''''(x) = 0. \end{align*}
In ähnlicher Weise, wenn $y = \phi(x) = 3x(x^2 - 4)$,
\begin{align*} \phi'(x) &= \frac{dy}{dx} = 3\bigl[x \times 2x + (x^2 - 4) \times 1\bigr] = 3(3x^2 - 4), \\ \phi''(x) &= \frac{d^2y}{dx^2} = 3 \times 6x = 18x, \\ \phi'''(x) &= \frac{d^3y}{dx^3} = 18, \\ \phi''''(x) &= \frac{d^4y}{dx^4} = 0. \end{align*}
Gib die ersten zwei Ableitungen folgender Funktionen an:
f(x) = 1/4x4
f′(x) = x3
f′′(x) = 3x2
f(x) = 15x − 45
f′(x) = 15
f′′(x) = 0
f(x) = x2 − 6x
f′(x) = 2x − 6
f′′(x) = 2
f(x) = 3x2 − 8x − 3
f′(x) = 6x − 8
f′′(x) = 6
f(x) = 10x2 · (x + 7)
f′(x) = 10x2 · 1 + 20x(x + 7)
f′(x) = 10x2 + 20x2 + 140x
f′(x) = 30x2 + 140x
f′′(x) = 60x + 140
f(x) = (x + 3)2
f′(x) = 2 · (x + 3)1 · ((x + 3)′)
= 2(x + 3) · 1
f′(x) = 2(x + 3)
f′′(x) = 2
f(x) = 2x · sin(x)
f′(x) = 2x · cos(x) + 2 · sin(x)
f′′(x) = 2x · (−sin(x)) + 2 · cos(x) + 2 · cos(x)
= 2x(−sin(x)) + 4cos(x)
f′′(x) = 4cos(x) − 2xsin(x)
Gib die ersten zwei Ableitungen der folgenden Funktionen an:
f(x) = x + sin(x)
f′(x) = 1 + cos(x)
f′′(x) = −sin(x)
f(x) = 3x − cos(x)
f′(x) = 3 + sin(x)
f′′(x) = cos(x)
f(x) = x2 cos(x)
f′(x) = 2x − sin(x)
f′′(x) = 2 − cos(x)
f(x) = 3x3 + sin(x)
f′(x) = 9x2 + cos(x)
f′′(x) = 18x − sin(x)
f(x) = 2x + sin(2x)
f′(x) = 2 + 2 · cos(2x)
f′′(x) = 2 · (2 · (−sin(2x)))
f′′(x) = −4sin(2x)
f(x) = x2 − cos(3x)
f′(x) = 2x − 3sin(3x)
f′′(x) = 2 − 3 · (3cos(3x))
f′′(x) = 2 − 9cos(3x)