Zweiter Differentialkoeffizient von Sinus oder Cosinus

Wir haben gesehen, dass, wenn $\sin\theta$ nach $\theta$ differenziert wird, es zu $\cos\theta$ wird; und dass, wenn $\cos\theta$ nach $\theta$ differenziert wird, es zu $-\sin\theta$ wird; oder, in Symbolen können wir für die zweite Differenzierung von $\sin\theta$ daher folgendes schreiben,

\[ \frac{d^2(\sin \theta)}{d\theta^2} = -\sin \theta. \]

Also haben wir dieses merkwürdige Ergebnis, dass wir eine Funktion gefunden haben, bei der wir, wenn wir sie zweimal differenzieren, dasselbe Ergebnis erhalten, von dem wir ausgegangen sind, jedoch mit geändertem Vorzeichen von $+$ auf $-$.

Das gleiche gilt für den Kosinus; denn die Differenzierung von $\cos\theta$ gibt uns $-\sin\theta$, und die Differenzierung von $-\sin\theta$ gibt uns $-\cos\theta$; so:

\[ \frac{d^2(\cos\theta)}{d\theta^2} = -\cos\theta. \]

Sinus und Kosinus sind die einzigen Funktionen, bei denen der zweite Differentialkoeffizient gleich (und mit entgegengesetztem Vorzeichen) der ursprünglichen Funktion ist.

Beispiele Mit dem, was wir bisher gelernt haben, können wir nun komplexere Ausdrücke differenzieren.

(1) $y=\arcsin x$.

Wenn y der arc (Bogen) ist, dessen Sinus x ist, dann ist $x = \sin y$.

\[ \frac{dx}{dy}=\cos y. \]

Wenn wir nun von der inversen Funktion zur ursprünglichen übergehen, erhalten wir

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\;\dfrac{dx}{dy}\;} = \frac{1}{\cos y}. \\ \text{Jetzt }\; \cos y &= \sqrt{1-\sin^2 y}=\sqrt{1-x^2}; \\ \text{daher }\; \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \end{align*}

ein eher unerwartetes Ergebnis.

(2) $y=\cos^3 \theta$.

Das ist dasselbe, wie $y=(\cos \theta)^3$.

Sei $\cos\theta=v$; dann ist $y=v^3$; $\dfrac{dy}{dv}=3v^2$.

\begin{align*} \frac{dv}{d\theta} &= -\sin\theta.\\ \frac{dy}{d\theta} &= \frac{dy}{dv} \times \frac{dv}{d\theta} = -3 \cos^2 \theta \sin\theta. \end{align*}

(3) $y=\sin(x+a)$.

Sei $x+a=v$; dann ist $y=\sin v$.

\[ \frac{dy}{dv}=\cos v;\qquad \frac{dv}{dx}=1 \quad\text{und}\quad \frac{dy}{dx}=\cos(x+a). \]

(4) $y=\log_\epsilon \sin \theta$.

Sei $\sin\theta=v$; $y=\log_\epsilon v$.

\begin{align*} \frac{dy}{dv} &= \frac{1}{v};\quad \frac{dv}{d\theta}=\cos\theta;\\ \frac{dy}{d\theta} &= \frac{1}{\sin\theta} \times \cos\theta = \cot\theta. \end{align*}

(5) $y=\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$.

\begin{align*} \frac{dy}{d\theta} &= \frac{-\sin^2\theta - \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\\ &= -(1+\cot^2 \theta) = -\text{cosec}^2 \theta. \end{align*}

(6) $y=\tan 3\theta$.

Let $3\theta=v$; $y=\tan v$; $\dfrac{dy}{dv}=\sec^2 v$.

\[ \frac{dv}{d\theta}=3;\quad \frac{dy}{d\theta}=3 \sec^2 3\theta. \]

(7) $y = \sqrt{1+3\tan^2\theta}$; $y=(1+3 \tan^2 \theta)^{\frac{1}{2}}$.

Sei $3\tan^2\theta=v$.

\begin{align*} y &= (1+v)^{\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{dv} = \frac{1}{2\sqrt{1+v}} \end{align*}

(siehe hier);

\begin{align*} \frac{dv}{d\theta} &= 6\tan\theta \sec^2 \theta \\ \end{align*}

denn, wenn $\tan \theta = u$,

\begin{align*} v &= 3u^2;\quad \frac{dv}{du} = 6u;\quad \frac{du}{d\theta} = \sec^2 \theta; \\ \text{ dann } \frac{dv}{d\theta} &= 6 (\tan \theta \sec^2 \theta) \\ \text{ und } \frac{dy}{d\theta} &= \frac{6\tan\theta \sec^2\theta}{2\sqrt{1 + 3\tan^2\theta}}. \end{align*}

(8) $y=\sin x \cos x$.

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \sin x(-\sin x) + \cos x \times \cos x \\ &= \cos^2 x - \sin^2 x. \end{align*}

Aufgaben Set 1

Gib die ersten zwei Ableitungen folgender Funktionen an:

• f(x) = sin(x)
• f(x) = 2 sin(x)
• f(x) = sin(2x)
• f(x) = sin(x²)
• f(x) = cos(x)
• f(x) = 2 cos(x)
• f(x) = −2 cos(x)
• f(x) = cos(2x)
• f(x) = cos(x²)

Lösungen

a) f(x) = sin(x)

f(x) = sin(x)
f′(x) = cos(x)
f′′(x) = −sin(x)

b) f(x) = 2 sin(x)

f(x) = 2 sin(x)
f′(x) = 2 cos(x)
f′′(x) = −2 sin(x)

c) f(x) = sin(2x)

f(x) = sin(2x)
f′(x) = cos(2x) · (2x)′ = 2 cos(2x)
f′′(x) = 2(cos(2x)′) = 2(−sin(2x) · (2x)′) = −2 sin(2x) · 2 = −4 sin(2x)

d) f(x) = sin(x²)

f(x) = sin(x²)
f′(x) = cos(x²) · (x²)′ = 2x · cos(x²)
f′′(x) = 2x · −2x sin(x²) + 2 · cos(x²) = −4x² sin(x²) + 2 · cos(x²)

e) f(x) = cos(x)

f(x) = cos(x)
f′(x) = −sin(x)
f′′(x) = −cos(x)

f) f(x) = 2 cos(x)

f(x) = 2 cos(x)
f′(x) = −2 sin(x)
f′′(x) = −2 cos(x)

g) f(x) = −2 cos(x)

f(x) = −2 cos(x)
f′(x) = 2 sin(x)
f′′(x) = 2 cos(x)

h) f(x) = cos(2x)

f(x) = cos(2x)
f′(x) = −sin(2x) · (2x)′ = −2 sin(2x)
f′′(x) = −2 cos(2x) · (2x)′ = −4 cos(2x)

i) f(x) = cos(x²)

f(x) = cos(x²)
f′(x) = −sin(x²) · (x²)′ = −2x sin(x²)
f′′(x) = −4x² cos(x²) − 2 sin(x²)

Aufgaben Set 2

Gib die ersten zwei Ableitungen folgender Funktionen an:

• f(x) = sin(x) + cos(x)
• f(x) = sin(x) − cos(x)
• f(x) = sin(x) · cos(x)
• f(x) = 3 sin(2x)
• f(x) = (3 + sin(x))²
• f(x) = (sin(x) + cos(x))²
• f(x) = sin²(x) + cos²(x)
• f(x) = sin²(x) − cos²(x)
• f(x) = sin²(x) · cos²(x)

Lösungen

a) f(x) = sin(x) + cos(x)

f(x) = sin(x) + cos(x)
f′(x) = cos(x) − sin(x)
f′′(x) = −sin(x) − cos(x)

b) f(x) = sin(x) − cos(x)

f(x) = sin(x) − cos(x)
f′(x) = cos(x) − (−sin(x))
f′(x) = cos(x) + sin(x)
f′′(x) = −sin(x) + cos(x) = cos(x) − sin(x)

c) f(x) = sin(x) cos(x)

Produktregel
f′(x) = sin(x) · (cos(x))′ + cos(x) · (sin(x))′
f′(x) = −sin²(x) + cos²(x)
Kettenregel (äußere mal innerer)
f′′(x) = (−2 sin(x) · (sin(x))′) + (2 cos(x) · (cos(x))′)
f′′(x) = −2 sin(x) cos(x) − 2 cos(x) sin(x) = −4 sin(x) cos(x)

d) f(x) = 3 sin(2x)

Kettenregel (äußere mal innerer)
f′(x) = 3(cos(2x) · (2x)′)
f′(x) = 3(2 · cos(2x))
f′(x) = 6 cos(2x)
Kettenregel (äußere mal innerer)
f′′(x) = 6(−sin(2x) · (2x)′)
f′′(x) = 6(−2 sin(2x))
f′′(x) = −12 sin(2x)

e) f(x) = (3 + sin(x))²

f′(x) = 2(3 + sin(x)) · (sin(x) + 3)′
f′(x) = 2(3 + sin(x)) · cos(x)
f′(x) = 6 cos(x) + 2 sin(x) cos(x)
f′′(x) = −6 sin(x) + 2(sin(x) · (cos(x))′ + (sin(x))′ · cos(x))
f′′(x) = −6 sin(x) + 2(−sin²(x) + cos²(x))
f′′(x) = −6 sin(x) + 2 cos²(x) − 2 sin²(x)

f) f(x) = (sin(x) + cos(x))²

f′(x) = 2(sin(x) + cos(x)) · (sin(x) + cos(x))′
f′(x) = 2(sin(x) + cos(x)) · (cos(x) − sin(x))
f′(x) = 2(cos²(x) − sin²(x))
f′′(x) = 2(2 cos(x) · (cos(x))′ − 2 sin(x) · (sin(x))′)
f′′(x) = 2(−2 sin(x) cos(x) − 2 sin(x) cos(x))
f′′(x) = 2(−4 sin(x) cos(x))
f′′(x) = −8 sin(x) cos(x)

g) f(x) = sin²(x) + cos²(x)

f′(x) = 2 sin(x) cos(x) + 2 cos(x)(−sin(x))
f′(x) = 2 sin(x) cos(x) − 2 sin(x) cos(x)
f′(x) = 0
f′′(x) = 0

h) f(x) = sin²(x) − cos²(x)

f′(x) = 2 sin(x) cos(x) − 2 cos(x)(−sin(x))
f′(x) = 2 sin(x) cos(x) + 2 sin(x) cos(x)
f′(x) = 4 sin(x) cos(x)
f′′(x) = 4(sin(x)(−sin(x)) + cos(x) cos(x))
f′′(x) = 4(cos²(x) − sin²(x))

i) f(x) = sin²(x) · cos²(x)

f′(x) = sin²(x)(cos²(x)) + (sin²(x))′ cos²(x)
f′(x) = sin²(x)(2 cos(x) · (cos(x))′) + (2 sin(x) · (sin(x))′) cos²(x)
f′(x) = sin²(x)(2 cos(x) · (−sin(x))) + (2 sin(x) · cos(x)) cos²(x)
f′(x) = −2 sin³(x) cos(x) + 2 sin(x) cos³(x)
f′(x) = 2 sin(x) cos³(x) − 2 sin³(x) cos(x)
f′′(x) = 2(sin(x) · (cos³(x))′ + (sin(x))′ · cos³(x)) − 2(sin³(x) · (cos(x))′ + (sin³(x))′ · cos(x))
f′′(x) = 2(sin(x) · (3 cos²(x) · (cos(x))′) + cos(x) · cos³(x))
−2(sin³(x) · (−sin(x)) + (3 sin²(x) · (sin(x))′) · cos(x))
f′′(x) = 2(sin(x) · −3 cos²(x) sin(x) + cos⁴(x))
−2((−sin⁴(x)) + (3 sin²(x) · cos(x)) · cos(x))
= 2(sin(x) · −3 cos²(x) sin(x) + cos⁴(x)) − 2(−sin⁴(x) + 3 sin²(x) cos²(x))
= 2(−3 cos²(x) sin²(x) + cos⁴(x)) − 2(3 sin²(x) cos²(x) − sin⁴(x))
= −6 cos²(x) sin²(x) + 2 cos⁴(x) − 6 sin²(x) cos²(x) + 2 sin⁴(x)
= 2 sin⁴(x) + 2 cos⁴(x) − 12 cos²(x) sin²(x)

Quelle: Ableitungen

http://www.mathe-ist-einfach.de/Ableitungen/Ableitungen.html