Wahrscheinlichkeitsfunktion: Die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P(X = k)$ der Poisson-Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass genau $k$ Ereignisse in einem Intervall auftreten, wobei $k$ eine nicht-negative ganze Zahl ist (d.h., $k = 0, 1, 2, \ldots$). Diese Funktion ist definiert als: [ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} ] Hierbei ist $e$ die Eulersche Zahl (ungefähr 2,71828) und $k!$ (k-Fakultät) das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis $k$.
Erwartungswert (Mittelwert): Der Erwartungswert oder Mittelwert einer Poisson-verteilten Zufallsvariable $X$ ist gleich dem Parameter $\lambda$. Dies bedeutet, dass der Durchschnitt der beobachteten Werte im langfristigen Mittel $\lambda$ beträgt: [ E(X) = \lambda ]
Varianz: Die Varianz einer Poisson-verteilten Zufallsvariable $X$ ist ebenfalls gleich $\lambda$. Die Varianz misst, wie stark die Werte um den Mittelwert streuen: [ \text{Var}(X) = \lambda ] Dies impliziert, dass der Mittelwert und die Varianz bei der Poisson-Verteilung gleich sind.
Schiefe: Die Schiefe (oder Asymmetrie) der Poisson-Verteilung hängt vom Wert von $\lambda$ ab. Bei kleinen $\lambda$-Werten ist die Verteilung stark rechtsschief (d.h., sie hat einen langen rechten Schwanz). Mit steigendem $\lambda$ nähert sich die Verteilung einer symmetrischen Form an.
Die Verteilungskurve der Poisson-Verteilung zeigt die Wahrscheinlichkeit für jede mögliche Anzahl von Ereignissen. Diese Kurve hat folgende charakteristische Merkmale:
Bei kleinen $\lambda$-Werten: Die Verteilung ist stark rechtsschief. Die meisten Wahrscheinlichkeiten konzentrieren sich auf kleinere Werte von $k$, und die Wahrscheinlichkeit nimmt schnell ab, wenn $k$ größer wird. Zum Beispiel, wenn $\lambda = 2$, sind die Wahrscheinlichkeiten für $k = 0, 1$ oder 2 am höchsten, und die Wahrscheinlichkeit für höhere Werte von $k$ sinkt rapide.
Bei mittleren $\lambda$-Werten: Die Verteilung wird breiter und flacher, und die Wahrscheinlichkeiten verteilen sich gleichmäßiger über eine größere Anzahl von $k$-Werten. Zum Beispiel, wenn $\lambda = 10$, sind die Wahrscheinlichkeiten für Werte um 10 am höchsten, aber auch die Wahrscheinlichkeiten für Werte etwas darüber oder darunter sind noch signifikant.
Bei großen $\lambda$-Werten: Die Verteilung nähert sich einer symmetrischen Form und ähnelt einer Normalverteilung (Glockenkurve). Dies ist eine Konsequenz des zentralen Grenzwertsatzes, der besagt, dass bei großen $\lambda$-Werten die Summe vieler unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen einer Normalverteilung folgt.