Beispiele und Anwendungen der Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung wird in vielen Bereichen verwendet, um seltene Ereignisse zu modellieren. Einige typische Anwendungsbeispiele sind:

• Anrufhäufigkeit in Call-Centern: Die Anzahl der Anrufe, die innerhalb einer Stunde bei einem Call-Center eingehen.
• Fehleranalyse in der Produktion: Die Anzahl der Fehler, die auf einer bestimmten Länge eines produzierten Materials auftreten.
• Vorkommen von seltenen Ereignissen: Die Anzahl der Verkehrsunfälle an einer bestimmten Kreuzung pro Jahr oder die Anzahl der Todesfälle durch Hufschlag in der preußischen Armee pro Jahr (ein klassisches Beispiel, das von Ladislaus von Bortkewitsch untersucht wurde).

1. Anrufhäufigkeit in einem Call-Center

Ein typisches Beispiel für die Anwendung der Poisson-Verteilung ist die Modellierung der Anrufhäufigkeit in einem Call-Center. Angenommen, ein Call-Center erhält durchschnittlich 10 Anrufe pro Stunde. Hier könnte $\lambda = 10$ verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass in einer bestimmten Stunde genau $k$ Anrufe eingehen. Diese Information ist nützlich, um Ressourcen wie Mitarbeiteranzahl und Arbeitszeiten effizient zu planen.

2. Anzahl von Fehlern in einem Buch

Ein weiteres Beispiel ist die Anzahl von Druckfehlern auf einer bestimmten Anzahl von Seiten eines Buches. Angenommen, es gibt im Durchschnitt 2 Fehler pro 100 Seiten, könnte die Poisson-Verteilung verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass auf 100 Seiten genau $k$ Fehler auftreten.

3. Verkehrsunfälle an einer Kreuzung

Ein weiteres praktisches Beispiel ist die Anzahl von Verkehrsunfällen an einer bestimmten Kreuzung pro Monat. Wenn historische Daten zeigen, dass es durchschnittlich 3 Unfälle pro Monat an dieser Kreuzung gibt $(\lambda = 3)$, kann die Poisson-Verteilung verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass in einem bestimmten Monat genau $k$ Unfälle passieren.

Berechnungsbeispiele

Beispiel 1: Anrufhäufigkeit in einem Callcenter

Stellen wir uns ein Callcenter vor, das durchschnittlich 10 Anrufe pro Stunde erhält. Die Anrufe kommen zufällig und unabhängig voneinander an. Wir möchten die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass in der nächsten Stunde genau 8 Anrufe eingehen.

Hier sind die Schritte zur Anwendung der Poisson-Verteilung in diesem Fall:

1. Bestimmen der Rate (λ):

   • Die durchschnittliche Rate der Anrufe pro Stunde (λ) ist 10.

2. Formel der Poisson-Verteilung:

   • Die Wahrscheinlichkeit, dass genau $k$ Ereignisse in einem festen Intervall auftreten, wird durch die Poisson-Formel gegeben: $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ Hierbei ist:
     • $P(X = k)$ die Wahrscheinlichkeit, dass genau $k$ Ereignisse auftreten.
     • $\lambda$ die durchschnittliche Rate der Ereignisse pro Intervall.
     • $k$ die Anzahl der tatsächlichen Ereignisse.
     • $e$ die Eulersche Zahl (ca. 2.71828).
     • $k!$ die Fakultät von $k$ (das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis $k$).

3. Einsetzen der Werte:

   • Für $\lambda = 10$ und $k = 8$ lautet die Berechnung: $P(X = 8) = \frac{e^{-10} \cdot 10^8}{8!}$
   • Berechnung der Fakultät:$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$
   • Einsetzen in die Formel:$P(X = 8) = \frac{e^{-10} \cdot 100000000}{40320}$
   • Näherungsweise Berechnung:$P(X = 8) \approx \frac{0.0000454 \cdot 100000000}{40320} \approx 0.1126$

Daraus ergibt sich, dass die Wahrscheinlichkeit, genau 8 Anrufe in der nächsten Stunde zu erhalten, etwa 11.26% beträgt.

Beispiel 2: Fehler in einem Buch

Angenommen, wir möchten die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass auf 100 Seiten eines Buches genau 4 Fehler gefunden werden $(k = 4)$. Wenn $\lambda = 2$, dann ist die Berechnung wie folgt: $P(X = 4) = \frac{2^4 e^{-2}}{4!}$

Berechnungen:

• $2^{4} = 16$
• $e^{-2} \approx 0.1353$
• $4! = 24$

Somit:

Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit, dass genau 4 Fehler auf 100 Seiten gefunden werden, beträgt etwa 9,02%.

Zusammenfassung

Die Poisson-Verteilung ist ein mächtiges Werkzeug zur Modellierung der Anzahl von Ereignissen in festgelegten Intervallen oder Gebieten, besonders wenn diese Ereignisse unabhängig voneinander und mit einer konstanten Rate auftreten. Sie ist in vielen Bereichen anwendbar, von der Kundenbetreuung über Druckfehleranalyse bis hin zur Verkehrsüberwachung, und ermöglicht es, Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Szenarien präzise zu berechnen.