Definition und Parameter der Poissonverteilung

Die Poissonverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die häufig verwendet wird, um die Anzahl der Ereignisse zu modellieren, die in einem festen Zeitraum oder Raum auftreten, wenn diese Ereignisse unabhängig voneinander und mit einer konstanten durchschnittlichen Rate geschehen. Sie ist nach dem französischen Mathematiker Siméon Denis Poisson benannt.

Definition

Ein Ereignis folgt einer Poissonverteilung, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. Unabhängigkeit der Ereignisse: Das Eintreten eines Ereignisses hat keinen Einfluss auf das Eintreten eines anderen Ereignisses.
2. Konstante Rate: Die durchschnittliche Rate, mit der Ereignisse auftreten, bleibt konstant über den betrachteten Zeitraum oder Raum.
3. Unteilbarkeit: Das betrachtete Intervall kann in kleine, unteilbare Einheiten zerlegt werden, in denen entweder genau ein Ereignis oder kein Ereignis auftritt.

Mathematische Formulierung

Die Poissonverteilung wird durch einen einzigen Parameter $\lambda$ (lambda) charakterisiert, der die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse in einem festen Intervall darstellt. Der Parameter $\lambda$ ist eine nicht-negative reelle Zahl $(\lambda \geq 0)$.

Die Wahrscheinlichkeit $P(X = k)$, dass in einem bestimmten Intervall genau $k$ Ereignisse auftreten, wird durch die Poisson-Formel gegeben:

$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

wobei:

• $X$ eine Zufallsvariable ist, die die Anzahl der Ereignisse darstellt.
• $k$ die genaue Anzahl der Ereignisse ist (kann 0, 1, 2, 3, ... sein).
• $\lambda$ der Erwartungswert (auch Durchschnittsrate genannt) der Ereignisse im Intervall ist.
• $e$ die Eulersche Zahl ist, etwa 2.71828.
• $k!$ die Fakultät von $k$ ist, definiert als $k! = k \cdot (k-1) \cdot (k-2) \cdot \ldots \cdot 1$, und für $k = 0$ gilt $0! = 1$.

Parameter der Poisson-Verteilung

Der einzige Parameter der Poisson-Verteilung ist λ (lambda), das die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse in dem betrachteten Intervall darstellt. Dieser Parameter kann auch als die Rate bezeichnet werden.