Anwendungen und Beispiele der hypergeometrischen Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeit, k Erfolge in einer Stichprobe von n Elementen zu finden, die ohne Zurücklegen aus einer endlichen Grundgesamtheit von N Elementen gezogen wurde, wobei in der Grundgesamtheit K Elemente erfolgreich sind.

Um dies besser zu verstehen, definieren wir zunächst einige grundlegende Begriffe:

• Grundgesamtheit (N): Die Gesamtmenge aller möglichen Elemente, aus der eine Stichprobe gezogen wird. Zum Beispiel eine Urne mit 50 Kugeln.
• Stichprobe (n): Eine Teilmenge, die aus der Grundgesamtheit entnommen wird. Beispielsweise das Ziehen von 5 Kugeln aus der Urne.
• Erfolge (K): Die Anzahl der Elemente in der Grundgesamtheit, die ein bestimmtes Merkmal aufweisen. Zum Beispiel die Anzahl der roten Kugeln in der Urne.
• Erfolge in der Stichprobe (k): Die Anzahl der Elemente in der Stichprobe, die das gleiche Merkmal aufweisen wie die Erfolge in der Grundgesamtheit. Zum Beispiel die Anzahl der roten Kugeln, die in der gezogenen Stichprobe von 5 Kugeln enthalten sind.

Die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit in der hypergeometrischen Verteilung lautet:

$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

Hierbei steht $\binom{a}{b}$ für den Binomialkoeffizienten, der auch als "a über b" gelesen wird und die Anzahl der Möglichkeiten beschreibt, b Elemente aus a Elementen auszuwählen.

Anwendungsbeispiele

1. Qualitätskontrolle in der Produktion: Stellen Sie sich vor, Sie arbeiten in einer Fabrik, die Glühbirnen herstellt. Von den 1000 Glühbirnen, die an einem Tag produziert werden, sind 50 defekt. Um die Qualität zu überprüfen, ziehen Sie eine Stichprobe von 20 Glühbirnen. Sie möchten wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass Sie in dieser Stichprobe genau 3 defekte Glühbirnen finden.

   Hier wäre:

   • N = 1000 (Gesamtanzahl der Glühbirnen)
   • K = 50 (Anzahl der defekten Glühbirnen)
   • n = 20 (Stichprobengröße)
   • k = 3 (Anzahl der defekten Glühbirnen in der Stichprobe)

   Die Wahrscheinlichkeit, genau 3 defekte Glühbirnen in der Stichprobe zu finden, kann mit der oben genannten Formel berechnet werden.

2. Kartenspiele: Ein weiteres Beispiel ist das Ziehen von Karten aus einem Kartenspiel. Angenommen, Sie haben ein Deck mit 52 Karten, darunter 4 Asse. Wenn Sie eine Hand von 5 Karten ziehen, möchten Sie wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass Sie genau 2 Asse erhalten.

   Hier wäre:

   • N = 52 (Gesamtanzahl der Karten im Deck)
   • K = 4 (Anzahl der Asse im Deck)
   • n = 5 (Stichprobengröße, also die Anzahl der gezogenen Karten)
   • k = 2 (Anzahl der Asse in der gezogenen Hand)

   Auch hier verwenden Sie die Formel der hypergeometrischen Verteilung, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

Zusammenfassung

Die hypergeometrische Verteilung ist besonders nützlich, wenn wir mit endlichen Populationen / Mengen arbeiten und ohne Zurücklegen ziehen.