Die hypergeometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die verwendet wird, um die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ergebnisse bei Stichproben ohne Zurücklegen zu berechnen. Um diese Verteilung zu verstehen, werden wir die folgenden Begriffe und Konzepte detailliert erklären und anschließend die Eigenschaften der hypergeometrischen Verteilung herleiten.
1. Grundgesamtheit: Dies ist die gesamte Menge der Objekte, aus der wir eine Stichprobe ziehen. Zum Beispiel könnte eine Grundgesamtheit eine Gruppe von 100 Kugeln sein, die aus roten und blauen Kugeln besteht.
2. Stichprobe: Eine Stichprobe ist eine Teilmenge der Grundgesamtheit. Diese Teilmenge wird untersucht, um Rückschlüsse auf die gesamte Grundgesamtheit zu ziehen. Wenn wir zum Beispiel 10 Kugeln aus den 100 Kugeln ziehen, ist diese Gruppe von 10 Kugeln eine Stichprobe.
3. Stichproben ohne Zurücklegen: Dies bedeutet, dass einmal ausgewählte Objekte nicht zurück in die Grundgesamtheit gelegt werden, bevor das nächste Objekt ausgewählt wird. Jede Auswahl beeinflusst also die nächste, da sich die Zusammensetzung der Grundgesamtheit ändert.
Um die Herleitung der hypergeometrischen Verteilung zu verstehen, betrachten wir ein konkretes Beispiel:
Angenommen, wir haben eine Urne mit 100 Kugeln, von denen 40 rot und 60 blau sind. Wir ziehen zufällig 10 Kugeln aus der Urne ohne Zurücklegen und möchten die Wahrscheinlichkeit berechnen, genau 4 rote Kugeln zu ziehen.
Anzahl der günstigen Fälle: Die Anzahl der Möglichkeiten, 4 rote Kugeln aus den 40 roten Kugeln zu ziehen, wird durch den Binomialkoeffizienten $\binom{40}{4}$ ausgedrückt. Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, $k$ Objekte aus einer Menge von $n$ Objekten auszuwählen und wird wie folgt berechnet:
$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
In unserem Fall ist $\binom{40}{4}$ die Anzahl der Möglichkeiten, 4 rote Kugeln aus 40 roten Kugeln auszuwählen.
Anzahl der ungünstigen Fälle: Die Anzahl der Möglichkeiten, 6 blaue Kugeln aus den 60 blauen Kugeln zu ziehen, wird durch den Binomialkoeffizienten $\binom{60}{6}$ ausgedrückt.
Anzahl der möglichen Ergebnisse: Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, 10 Kugeln aus den 100 Kugeln zu ziehen, wird durch den Binomialkoeffizienten $\binom{100}{10}$ ausgedrückt.
Die Wahrscheinlichkeit, genau 4 rote Kugeln in unserer Stichprobe zu ziehen, wird dann berechnet, indem wir die Anzahl der günstigen Fälle mit der Anzahl der ungünstigen Fälle multiplizieren und durch die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse teilen:
$P(X = 4) = \frac{\binom{40}{4} \cdot \binom{60}{6}}{\binom{100}{10}}$
Diskrete Verteilung: Die hypergeometrische Verteilung ist eine diskrete Verteilung, da sie nur für ganze Zahlen definiert ist, die die Anzahl der Erfolge in der Stichprobe darstellen.
Parameter: Die hypergeometrische Verteilung wird durch drei Parameter definiert:
Erwartungswert: Der Erwartungswert (durchschnittliche Anzahl der Erfolge in der Stichprobe) der hypergeometrischen Verteilung ist gegeben durch:
$E(X) = n \cdot \frac{K}{N}$
In unserem Beispiel ist der Erwartungswert $E(X) = 10 \cdot \frac{40}{100} = 4$, was bedeutet, dass wir im Durchschnitt 4 rote Kugeln erwarten.Varianz: Die Varianz (Maß für die Streuung der Anzahl der Erfolge um den Erwartungswert) der hypergeometrischen Verteilung ist gegeben durch:
$\text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1}$
Dies berücksichtigt die Abhängigkeit zwischen den Ziehungen ohne Zurücklegen.
Die hypergeometrische Verteilung ist eine wichtige diskrete Verteilung, die verwendet wird, um Wahrscheinlichkeiten bei Stichproben ohne Zurücklegen zu berechnen. Sie findet Anwendungen in vielen Bereichen wie Qualitätskontrolle, Biologie und Sozialwissenschaften, wo Stichproben aus endlichen Populationen untersucht werden.