Definition der Hypergeometrische Verteilung und Unterschiede zur Binomialverteilung

Einführung in die Hypergeometrische Verteilung

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es verschiedene Verteilungen, die verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse zu modellieren. Eine davon ist die hypergeometrische Verteilung. Um diese besser zu verstehen, schauen wir uns zuerst die Binomialverteilung an, da sie einige Ähnlichkeiten aufweist.

Binomialverteilung: Eine kurze Wiederholung

Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl von unabhängigen Versuchen, wobei jeder Versuch nur zwei mögliche Ergebnisse hat: Erfolg oder Misserfolg. Ein klassisches Beispiel ist das Werfen einer Münze, wobei „Kopf“ als Erfolg und „Zahl“ als Misserfolg gezählt wird. Wichtige Eigenschaften der Binomialverteilung sind:

• Es gibt eine feste Anzahl $n$ von Versuchen.
• Die Wahrscheinlichkeit $p$ für einen Erfolg ist in jedem Versuch gleich.
• Die Versuche sind unabhängig voneinander.

Hypergeometrische Verteilung: Definition

Die hypergeometrische Verteilung wird verwendet, wenn wir es mit einer begrenzten Population zu tun haben und ohne Zurücklegen ziehen. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Erfolges sich nach jeder Ziehung ändert, weil das Verhältnis der verbleibenden Elemente sich ändert. Ein typisches Beispiel ist das Ziehen von Kugeln aus einer Urne ohne Zurücklegen.

Formell wird die hypergeometrische Verteilung durch die folgenden Parameter definiert:

• $N$: Gesamtzahl der Elemente in der Population.
• $K$: Anzahl der erfolgreichen Elemente in der Population (z.B. rote Kugeln).
• $n$: Anzahl der Ziehungen (ohne Zurücklegen).
• $k$: Anzahl der Erfolge in den Ziehungen.

Die Wahrscheinlichkeit, genau $k$ Erfolge in $n$ Ziehungen zu haben, wird durch die hypergeometrische Verteilung gegeben und berechnet sich wie folgt:

$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

Hierbei ist $\binom{a}{b}$ der Binomialkoeffizient und beschreibt die Anzahl der Möglichkeiten, $b$ Elemente aus $a$ Elementen auszuwählen.

Unterschiede zur Binomialverteilung

1. Abhängigkeit der Ziehungen:

   • Bei der Binomialverteilung sind die Ziehungen unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit eines Erfolges bleibt gleich, egal wie viele Versuche schon gemacht wurden.
   • Bei der hypergeometrischen Verteilung sind die Ziehungen abhängig, da ohne Zurücklegen gezogen wird. Die Wahrscheinlichkeit eines Erfolges ändert sich nach jeder Ziehung, weil die Zusammensetzung der verbleibenden Elemente sich ändert.

2. Größe der Population:

   • Die Binomialverteilung nimmt an, dass die Population theoretisch unendlich groß oder die Ziehungen mit Zurücklegen sind, was bedeutet, dass die Gesamtzahl der Elemente nicht abnimmt.
   • Die hypergeometrische Verteilung berücksichtigt eine endliche Population, wodurch sich die Wahrscheinlichkeiten nach jeder Ziehung ändern.

Beispiel zur Veranschaulichung

Stellen wir uns eine Urne mit 20 Kugeln vor, davon sind 7 rot (Erfolg) und 13 schwarz (Misserfolg). Wir ziehen 5 Kugeln ohne Zurücklegen und möchten wissen, wie wahrscheinlich es ist, genau 2 rote Kugeln zu ziehen.

Hier sind die Parameter:

• $N = 20$ (Gesamtzahl der Kugeln)
• $K = 7$ (Anzahl der roten Kugeln)
• $n = 5$ (Anzahl der Ziehungen)
• $k = 2$ (gewünschte Anzahl der roten Kugeln)

Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich wie folgt:

$P(X = 2) = \frac{\binom{7}{2} \binom{13}{3}}{\binom{20}{5}}$

Durch das Einsetzen der Werte in die Binomialkoeffizientenformel erhalten wir die Wahrscheinlichkeit.

Zusammenfassung

Die hypergeometrische Verteilung ist besonders nützlich, wenn man aus einer endlichen Population ohne Zurücklegen zieht und die Wahrscheinlichkeit von Erfolgen abhängig von der bereits gezogenen Menge berechnen möchte. Sie ist im Gegensatz zur Binomialverteilung geeignet für Szenarien, in denen die Wahrscheinlichkeit nach jeder Ziehung variiert.