Die geometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg in einer Serie von unabhängigen Bernoulli-Experimenten modelliert. Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, das nur zwei mögliche Ausgänge hat: Erfolg (mit Wahrscheinlichkeit $p$) und Misserfolg (mit Wahrscheinlichkeit $1-p$). In der geometrischen Verteilung interessiert uns die Anzahl der Versuche, die nötig sind, um den ersten Erfolg zu erzielen.
Beispiel 1: Werfen einer Münze
Stellen wir uns vor, wir werfen eine faire Münze (das heißt, die Wahrscheinlichkeit für Kopf $p$ und Zahl $1-p$ ist jeweils $0.5$). Wir möchten wissen, wie viele Münzwürfe wir durchführen müssen, bis wir zum ersten Mal Kopf erhalten. Die geometrische Verteilung kann diese Situation modellieren.
Diese Wahrscheinlichkeiten folgen der geometrischen Verteilung, wobei die Anzahl der Versuche bis zum ersten Kopf der Zufallsvariablen $X$ folgt, die geometrisch verteilt ist mit Parameter $p = 0.5$.
Beispiel 2: Qualitätskontrolle
Ein anderes Beispiel für die geometrische Verteilung finden wir in der Qualitätskontrolle. Nehmen wir an, wir haben eine Produktionslinie, bei der $5\%$ der hergestellten Produkte fehlerhaft sind. Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt fehlerhaft ist, beträgt $0.05$ und die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt nicht fehlerhaft ist, beträgt $0.95$.
Wir möchten nun wissen, wie viele Produkte wir überprüfen müssen, bis wir das erste fehlerhafte Produkt finden. Hier modelliert die geometrische Verteilung die Anzahl der überprüften Produkte bis zum ersten fehlerhaften Produkt.
Anwendungen der geometrischen Verteilung
Die geometrische Verteilung wird in vielen Bereichen angewendet, einschließlich:
Warteschlangentheorie: In der Warteschlangentheorie wird die geometrische Verteilung verwendet, um die Anzahl der Kunden zu modellieren, die bedient werden müssen, bevor ein bestimmter Kunde an die Reihe kommt.
Reliabilitätstheorie: In der Reliabilitätstheorie hilft die geometrische Verteilung dabei, die Anzahl der Betriebszyklen eines Geräts bis zum ersten Ausfall zu modellieren.
Biologie: In der Biologie kann die geometrische Verteilung verwendet werden, um die Anzahl der Versuche zu modellieren, die erforderlich sind, um ein seltenes genetisches Merkmal in einer Population zu finden.
Wichtige Eigenschaften der geometrischen Verteilung
Erwartungswert (Mittelwert): Der Erwartungswert der geometrischen Verteilung ist $\frac{1}{p}$. Dies bedeutet, dass im Durchschnitt $\frac{1}{p}$ Versuche notwendig sind, um den ersten Erfolg zu erzielen.
Varianz: Die Varianz der geometrischen Verteilung ist $\frac{1-p}{p^2}$. Die Varianz gibt an, wie stark die Anzahl der Versuche um den Erwartungswert streut.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die geometrische Verteilung ein nützliches Werkzeug ist, um Situationen zu modellieren, in denen wir an der Anzahl der Versuche interessiert sind, die bis zum ersten Erfolg in einer Reihe von unabhängigen Experimenten erforderlich sind. Durch die Betrachtung von Beispielen und Anwendungen wird deutlich, wie vielseitig und praktisch die geometrische Verteilung in verschiedenen Bereichen eingesetzt werden kann.