Die geometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die das erste Auftreten eines Erfolgs in einer Serie von unabhängigen und identisch verteilten Bernoulli-Experimenten beschreibt. Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, das genau zwei mögliche Ergebnisse hat: Erfolg oder Misserfolg. Diese beiden Ergebnisse werden oft mit "1" (für Erfolg) und "0" (für Misserfolg) bezeichnet.
1. Diskrete Zufallsvariable:
Die geometrische Verteilung bezieht sich auf eine diskrete Zufallsvariable $X$, die die Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg zählt. Das bedeutet, dass $X$ nur ganzzahlige Werte annehmen kann: 1, 2, 3, ...
2. Wahrscheinlichkeitsfunktion:
Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Erfolg beim $k$-ten Versuch eintritt, ist gegeben durch:
$P(X = k) = (1 - p)^{k-1} p$
Hierbei ist $p$ die Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Bernoulli-Experiments, und $1 - p$ ist die Misserfolgswahrscheinlichkeit. Das Produkt $(1 - p)^{k-1}$ stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass die ersten $k-1$ Versuche Misserfolge sind, und $p$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass der $k$-te Versuch ein Erfolg ist.
3. Verteilungsfunktion:
Die Verteilungsfunktion (auch kumulative Verteilungsfunktion, KDF) $F(k)$ der geometrischen Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable $X$ einen Wert kleiner oder gleich $k$ annimmt:
$F(k) = P(X \leq k) = 1 - (1 - p)^k$
Diese Funktion summiert die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Werte von 1 bis $k$.
4. Gedächtnislose Eigenschaft:
Die geometrische Verteilung besitzt die Gedächtnislosigkeitseigenschaft. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs in einem bestimmten Versuch nicht davon abhängt, was in den vorherigen Versuchen passiert ist. Mathematisch ausgedrückt:
$P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n)$
Diese Eigenschaft ist einzigartig und teilt sie nur mit der Exponentialverteilung bei stetigen Verteilungen.
Der Erwartungswert (auch Mittelwert) einer Zufallsvariable ist ein Maß für den mittleren oder durchschnittlichen Wert, den diese Variable annimmt. Für die geometrische Verteilung kann der Erwartungswert $E(X)$ wie folgt berechnet werden:
$E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot P(X = k)$
Durch Anwendung der Definition der geometrischen Verteilung und einigen algebraischen Transformationen ergibt sich:
$E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot (1 - p)^{k-1} p$
Diese Summe kann durch bekannte Methoden der Analysis gelöst werden, zu:
$E(X) = \frac{1}{p}$
Das bedeutet, dass der durchschnittliche Wert der Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg invers proportional zur Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ ist. Zum Beispiel, wenn $p = 0,1$ (also 10% Erfolgswahrscheinlichkeit), dann erwarten wir durchschnittlich $\frac{1}{0,1} = 10$ Versuche bis zum ersten Erfolg.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die geometrische Verteilung ein nützliches Modell für Situationen ist, in denen es darum geht, die Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg zu analysieren, wie zum Beispiel beim Werfen einer Münze, bis Kopf erscheint, oder bei der Anzahl der Telefonanrufe, bis ein Gespräch erfolgreich zustande kommt. Die Gedächtnislosigkeitseigenschaft und der einfache Ausdruck für den Erwartungswert machen diese Verteilung besonders praktisch für viele Anwendungsbereiche.