Definition und mathematische Formulierung der Geometrischen Verteilung

Die geometrische Verteilung ist eine der grundlegenden diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Um sie zu verstehen, müssen wir uns zunächst mit einigen grundlegenden Konzepten vertraut machen.

Grundbegriffe

• Diskrete Verteilung: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der die möglichen Ergebnisse endlich oder abzählbar unendlich sind. Ein klassisches Beispiel ist das Werfen eines Würfels, bei dem die Ergebnisse die Zahlen 1 bis 6 sind.

• Bernoulli-Experiment: Ein Experiment, das nur zwei mögliche Ausgänge hat: Erfolg oder Misserfolg. Ein Beispiel ist das Werfen einer Münze, bei dem die Ausgänge "Kopf" (Erfolg) oder "Zahl" (Misserfolg) sind.

• Wahrscheinlichkeit (p): Die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelnes Bernoulli-Experiment ein Erfolg ist. Sie liegt zwischen 0 und 1, wobei 0 bedeutet, dass der Erfolg unmöglich ist, und 1 bedeutet, dass der Erfolg sicher ist.

Definition der Geometrischen Verteilung

Die geometrische Verteilung modelliert die Anzahl der Versuche, die benötigt werden, um den ersten Erfolg in einer Serie von unabhängigen Bernoulli-Experimenten zu erzielen. Unabhängig bedeutet hierbei, dass das Ergebnis eines Experiments keinen Einfluss auf die anderen Experimente hat.

Sei $X$ eine Zufallsvariable, die die Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg zählt. Dann ist $X$ geometrisch verteilt mit der Erfolgswahrscheinlichkeit $p$, was wir als $X \sim \text{Geom}(p)$ schreiben.

Mathematische Formulierung

Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Erfolg beim $k$-ten Versuch eintritt, kann durch die folgende Formel ausgedrückt werden:

$P(X = k) = (1 - p)^{k-1} \cdot p$

Hierbei gilt:

• $k$ ist die Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg (kann 1, 2, 3, ... sein).
• $p$ ist die Erfolgswahrscheinlichkeit in jedem einzelnen Versuch.
• $(1 - p)$ ist die Wahrscheinlichkeit eines Misserfolgs in einem einzelnen Versuch.

Eigenschaften der Geometrischen Verteilung

1. Erwartungswert (Mittelwert): Der Erwartungswert $E(X)$ einer geometrischen Verteilung gibt an, wie viele Versuche im Durchschnitt benötigt werden, um den ersten Erfolg zu erzielen. Er berechnet sich wie folgt:

$E(X) = \frac{1}{p}$

1. Varianz: Die Varianz $\text{Var}(X)$ gibt an, wie stark die Anzahl der benötigten Versuche um den Erwartungswert streut. Sie berechnet sich wie folgt:

$\text{Var}(X) = \frac{1 - p}{p^2}$

Beispiele und Anwendungen

Ein einfaches Beispiel zur Veranschaulichung der geometrischen Verteilung ist das Werfen eines fairen Würfels (mit der Erfolgswahrscheinlichkeit $p = \frac{1}{6}$, dass eine Sechs geworfen wird). Die geometrische Verteilung kann genutzt werden, um zu modellieren, wie viele Würfe im Durchschnitt benötigt werden, um das erste Mal eine Sechs zu würfeln.

Praktische Anwendung: Die geometrische Verteilung wird häufig verwendet, um Wartezeiten in verschiedenen Kontexten zu modellieren, z.B.:

• In der Qualitätskontrolle, um die Anzahl der getesteten Produkte bis zum ersten fehlerhaften Produkt zu bestimmen.
• In der Telekommunikation, um die Anzahl der Versuche zu modellieren, bis eine Verbindung erfolgreich aufgebaut wird.

Durch das Verständnis der geometrischen Verteilung können wir besser vorhersagen und interpretieren, wie viele Versuche typischerweise benötigt werden, um einen bestimmten Erfolg zu erreichen, was in vielen praktischen Situationen von großem Nutzen ist.