Herleitung der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung ist eine wichtige Verteilung in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die oft zur Modellierung von Zufallsexperimenten verwendet wird, bei denen es zwei mögliche Ergebnisse gibt: Erfolg oder Misserfolg. Um die Herleitung der Binomialverteilung zu verstehen, müssen wir einige grundlegende Konzepte und Begriffe klären.

1. Zufallsexperiment: Ein Experiment, dessen Ergebnis nicht vorhersehbar ist. Zum Beispiel das Werfen einer Münze.
2. Ergebnis: Das Resultat eines Zufallsexperiments. Beim Münzwurf sind die möglichen Ergebnisse "Kopf" oder "Zahl".
3. Ereignis: Eine Menge von Ergebnissen eines Zufallsexperiments. Ein Beispiel wäre das Ereignis "Es fällt Kopf".
4. Erfolg und Misserfolg: Bei einem Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ergebnissen bezeichnen wir eines als Erfolg (z.B. Kopf) und das andere als Misserfolg (z.B. Zahl).
5. Wahrscheinlichkeit (p): Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt. Bei einer fairen Münze ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf $p = 0.5$.
6. Anzahl der Versuche (n): Die Anzahl der Wiederholungen des Zufallsexperiments. Zum Beispiel fünfmaliges Werfen einer Münze.
7. Zufallsvariable (X): Eine Variable, die die Anzahl der Erfolge in $n$ Versuchen zählt. Zum Beispiel, wie oft bei fünf Würfen Kopf erscheint.

Herleitung der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in einer festen Anzahl von unabhängigen Versuchen mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit zu erzielen. Um die Herleitung zu verstehen, gehen wir Schritt für Schritt vor:

Schritt 1: Einzelne Versuche

Jeder einzelne Versuch eines Zufallsexperiments kann als Bernoulli-Versuch betrachtet werden, bei dem es zwei mögliche Ergebnisse gibt: Erfolg (mit Wahrscheinlichkeit $p$) und Misserfolg (mit Wahrscheinlichkeit $1 - p$).

Schritt 2: Kombination von Versuchen

Wenn wir $n$ unabhängige Bernoulli-Versuche durchführen, möchten wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass genau $k$ dieser Versuche erfolgreich sind. Hierfür verwenden wir die Wahrscheinlichkeitsmassefunktion (PMF) der Binomialverteilung.

Schritt 3: Wahrscheinlichkeitsmassefunktion (PMF)

Die Wahrscheinlichkeit, dass in $n$ Versuchen genau $k$ Erfolge auftreten, wird durch die Binomialverteilung gegeben und kann mit der Formel berechnet werden:

$ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} $

Dabei steht:

• $\binom{n}{k}$ für den Binomialkoeffizienten, der die Anzahl der möglichen Kombinationen darstellt, in denen $k$ Erfolge in $n$ Versuchen auftreten können.
• $p^k$ für die Wahrscheinlichkeit, dass $k$ Erfolge auftreten.
• $(1 - p)^{n - k}$ für die Wahrscheinlichkeit, dass die restlichen $n - k$ Versuche Misserfolge sind.

Schritt 4: Berechnung des Binomialkoeffizienten

Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ wird berechnet als:

$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} $

Hierbei steht:

• $n!$ für die Fakultät von $n$, also das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis $n$.
• $k!$ für die Fakultät von $k$.
• $(n - k)!$ für die Fakultät von $(n - k)$.

Beispiel zur Veranschaulichung

Nehmen wir an, wir werfen eine faire Münze dreimal $n = 3$ und möchten die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass genau zwei dieser Würfe Kopf zeigen $k = 2$.

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wurf Kopf zeigt, ist $p = 0.5$.
2. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wurf Zahl zeigt, ist $1 - p = 0.5$.
3. Der Binomialkoeffizient für $n = 3$ und $k = 2$ ist:

$ \binom{3}{2} = \frac{3!}{2! \cdot (3 - 2)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 3 $

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei von drei Würfen Kopf zeigen, ist:

$ P(X = 2) = \binom{3}{2} \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{3 - 2} = 3 \cdot 0.25 \cdot 0.5 = 0.375 $

Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit, dass bei drei Würfen genau zwei Kopf sind, beträgt 0.375 oder 37.5%.

Diese Herleitung und das Beispiel verdeutlichen, wie die Binomialverteilung verwendet wird, um die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in einer festen Anzahl von Versuchen zu berechnen.