Eigenschaften und Verteilungskurve

Die Binomialverteilung ist eine der fundamentalen Verteilungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Sie modelliert die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl $n$ unabhängiger Experimente, wobei jedes Experiment genau zwei mögliche Ergebnisse hat: Erfolg oder Misserfolg. Diese Art von Experiment wird als Bernoulli-Experiment bezeichnet, benannt nach dem Mathematiker Jakob Bernoulli.

Definition der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung wird durch zwei Parameter beschrieben:

• $n$: Die Anzahl der unabhängigen Bernoulli-Experimente.
• $p$: Die Wahrscheinlichkeit eines Erfolges in jedem einzelnen Experiment.

Die Wahrscheinlichkeit, dass in $n$ Experimenten genau $k$ Erfolge auftreten, wird durch die Binomialverteilung $B(n, p)$ gegeben. Die entsprechende Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

Hierbei ist:

• $X$ eine Zufallsvariable, die die Anzahl der Erfolge zählt.
• $\binom{n}{k}$ der Binomialkoeffizient, der die Anzahl der Möglichkeiten darstellt, $k$ Erfolge in $n$ Versuchen anzuordnen. Er wird berechnet als (\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}), wobei $n!$ (gesprochen: "n Fakultät") das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis $n$ ist.

Erwartungswert und Varianz

Zwei wichtige Eigenschaften der Binomialverteilung sind der Erwartungswert (Mittelwert) und die Varianz (ein Maß für die Streuung der Werte um den Mittelwert):

• Erwartungswert (E(X)): Der Erwartungswert der Binomialverteilung gibt die durchschnittliche Anzahl der Erfolge in $n$ Experimenten an und wird berechnet als:

$E(X) = n \cdot p$

• Varianz (Var(X)): Die Varianz der Binomialverteilung misst die Streuung der Anzahl der Erfolge um den Erwartungswert und wird berechnet als:

$\text{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)$

Verteilungskurve

Die Verteilungskurve der Binomialverteilung stellt die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen möglichen Werte von $k$ dar. Sie wird auch Wahrscheinlichkeitsmassefunktion (PMF) genannt.

• Bei kleinen $n$ ist die Verteilungskurve meist asymmetrisch und kann verschiedene Formen annehmen, je nach dem Wert von $p$.
• Für große $n$ nähert sich die Form der Verteilung einer Glockenkurve, insbesondere wenn $p$ nahe bei 0,5 liegt. Dies folgt aus dem zentralen Grenzwertsatz, der besagt, dass bei ausreichend großen $n$ die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden kann.

Beispiel

Nehmen wir an, wir werfen eine faire Münze $$p = 0,5$$ 10 Mal $$n = 10$$ und möchten wissen, wie wahrscheinlich es ist, genau 6 Mal "Kopf" zu werfen $$k = 6$$. Die Berechnung erfolgt wie folgt:

$P(X = 6) = \binom{10}{6} (0,5)^6 (1 - 0,5)^{10-6}$

$= \frac{10!}{6!4!} (0,5)^6 (0,5)^4$

$= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (0,5)^{10}$

$= 210 \cdot (0,0009765625)$

$\approx 0,205$

Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, genau 6 Mal "Kopf" zu werfen, etwa 20,5 % beträgt.

Die Eigenschaften und die Verteilungskurve der Binomialverteilung sind zentral, um viele Probleme in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik zu lösen, insbesondere solche, die mit Wiederholungsexperimenten und Erfolgszählungen zu tun haben.