Binomialverteilung Definition und Parameter (n, p)

Die Binomialverteilung ist eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen und findet in vielen Bereichen der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Anwendung. Um die Binomialverteilung vollständig zu verstehen, ist es notwendig, ihre Definition und die damit verbundenen Parameter zu kennen.

Definition der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl von unabhängigen Versuchen, die jeweils nur zwei mögliche Ausgänge haben: Erfolg oder Misserfolg. Ein solcher Versuch wird als Bernoulli-Experiment bezeichnet. Jedes Bernoulli-Experiment hat zwei mögliche Ergebnisse, die üblicherweise als "Erfolg" (mit der Wahrscheinlichkeit $p$) und "Misserfolg" (mit der Wahrscheinlichkeit $1 - p$) bezeichnet werden.

Ein klassisches Beispiel für ein Bernoulli-Experiment ist der Münzwurf, bei dem "Kopf" als Erfolg und "Zahl" als Misserfolg betrachtet wird. Wenn wir nun mehrere solcher Münzwürfe durchführen und zählen, wie oft "Kopf" erscheint, dann ist diese Zählung eine Binomialverteilung.

Die Binomialverteilung wird durch zwei Parameter bestimmt:

• $n$: Die Anzahl der Versuche
• $p$: Die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs bei einem einzelnen Versuch

Parameter der Binomialverteilung

Anzahl der Versuche (n)

Der Parameter $n$ repräsentiert die Anzahl der durchgeführten unabhängigen Bernoulli-Experimente. In der Praxis könnte $n$ zum Beispiel die Anzahl der Münzwürfe, die Anzahl der produzierten Artikel oder die Anzahl der durchgeführten Tests sein. Dieser Parameter muss eine positive ganze Zahl sein (n = 1, 2, 3, ...).

Wahrscheinlichkeit des Erfolgs (p)

Der Parameter $p$ repräsentiert die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelnes Bernoulli-Experiment erfolgreich ist. Diese Wahrscheinlichkeit muss ein Wert zwischen 0 und 1 sein, einschließlich 0 und 1 (0 ≤ p ≤ 1). Beispielsweise könnte $p$ die Wahrscheinlichkeit sein, dass eine Glühbirne aus einer Produktionslinie defekt ist, oder die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler bei einem Wurf einen Punkt erzielt.

Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau $k$ Erfolge in $n$ unabhängigen Bernoulli-Experimenten auftreten, wird durch die Binomialverteilung gegeben und kann mit der folgenden Formel berechnet werden:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}$

Hierbei ist:

• $P(X = k)$ die Wahrscheinlichkeit, dass genau $k$ Erfolge in $n$ Versuchen auftreten
• $\binom{n}{k}$ der Binomialkoeffizient, der die Anzahl der möglichen Kombinationen von $n$ Versuchen und $k$ Erfolgen darstellt
• $p^k$ die Wahrscheinlichkeit, dass $k$ der Versuche erfolgreich sind
• $(1 - p)^{n - k}$ die Wahrscheinlichkeit, dass die restlichen $n - k$ Versuche nicht erfolgreich sind

Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ wird berechnet als:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}$

Dabei ist $n!$ die Fakultät von $n$, die das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis $n$ darstellt.

Beispiel zur Veranschaulichung

Angenommen, wir haben eine faire Münze (p = 0.5) und werfen sie 10 Mal (n = 10). Wir möchten die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass wir genau 4 Mal "Kopf" erhalten (k = 4).

Anwenden der Binomialformel:

$P(X = 4) = \binom{10}{4} (0.5)^4 (1 - 0.5)^{10 - 4}$

Zuerst berechnen wir den Binomialkoeffizienten:

$\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10 - 4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210$

Dann setzen wir alles in die Formel ein:

$P(X = 4) = 210 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^6 = 210 \cdot (0.5)^{10} = 210 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{210}{1024} = 0.205$

Die Wahrscheinlichkeit, bei 10 Münzwürfen genau 4 Mal "Kopf" zu erhalten, beträgt also ungefähr 0.205 oder 20.5%.