Anwendungsbeispiele der Bernoulli Formel

Die Bernoulli-Formel, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli, ist ein fundamentales Werkzeug in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis in einer Reihe von unabhängigen Versuchen eine vorgegebene Anzahl von Malen eintritt. Um die Anwendung der Bernoulli-Formel zu verstehen, ist es wichtig, einige grundlegende Begriffe und Konzepte zu klären.

Grundbegriffe:

• Ereignis: Ein Ergebnis oder eine Gruppe von Ergebnissen, die bei einem Zufallsexperiment auftreten können. Zum Beispiel kann das Werfen einer Münze die Ereignisse „Kopf“ oder „Zahl“ haben.
• Versuch: Eine einzelne Durchführung eines Zufallsexperiments. Bei mehreren Versuchen sprechen wir oft von einer Serie oder einer Sequenz von Versuchen.
• Unabhängigkeit: Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses keinen Einfluss auf das Eintreten des anderen Ereignisses hat. Zum Beispiel sind die Ergebnisse mehrerer Würfe eines Würfels unabhängig voneinander.
• Wahrscheinlichkeit: Ein Maß für die Erwartung, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt. Sie wird durch eine Zahl zwischen 0 und 1 ausgedrückt, wobei 0 für Unmöglichkeit und 1 für Sicherheit steht.

Bernoulli-Formel: Die Bernoulli-Formel berechnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ereignis (k) Mal in (n) unabhängigen Versuchen eintritt. Die Formel lautet:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

Hierbei ist:

• $\binom{n}{k}$ der Binomialkoeffizient, der die Anzahl der Möglichkeiten beschreibt, (k) Erfolge in (n) Versuchen anzuordnen.
• $p$ die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis in einem einzelnen Versuch eintritt.
• $k$ die Anzahl der Erfolge.
• $n$ die Gesamtzahl der Versuche.

Beispiel 1: Münzwurf Stellen Sie sich vor, Sie werfen eine faire Münze 10 Mal. Sie möchten die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Münze genau 6 Mal „Kopf“ zeigt. Hierbei ist:

• $n = 10$
• $k = 6$
• $p = 0.5$ (da die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ bei einer fairen Münze 0.5 ist)

Die Berechnung sieht wie folgt aus: $P(X = 6) = \binom{10}{6} (0.5)^6 (0.5)^{10-6}$

Der Binomialkoeffizient $\binom{10}{6}$ wird berechnet als: $\binom{10}{6} = \frac{10!}{6!(10-6)!} = \frac{10!}{6! \cdot 4!} = 210$

Damit ergibt sich: $P(X = 6) = 210 \cdot (0.5)^6 \cdot (0.5)^4 = 210 \cdot (0.5)^{10} = 210 \cdot \frac{1}{1024} \approx 0.205$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze genau 6 Mal „Kopf“ zeigt, beträgt also etwa 20.5%.

Beispiel 2: Qualitätskontrolle Angenommen, ein Hersteller produziert Glühbirnen, und die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne defekt ist, beträgt 2% (oder 0.02). Sie prüfen eine Stichprobe von 50 Glühbirnen und möchten die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass genau 1 Glühbirne defekt ist. Hierbei ist:

• $n = 50$
• $k = 1$
• $p = 0.02$

Die Berechnung sieht wie folgt aus: $P(X = 1) = \binom{50}{1} (0.02)^1 (0.98)^{50-1}$

Der Binomialkoeffizient $\binom{50}{1}$ ist: $\binom{50}{1} = \frac{50!}{1!(50-1)!} = 50$

Damit ergibt sich: $P(X = 1) = 50 \cdot 0.02 \cdot (0.98)^{49} \approx 50 \cdot 0.02 \cdot 0.364 = 0.364$

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 1 Glühbirne in der Stichprobe defekt ist, beträgt etwa 36.4%.

Diese Beispiele zeigen, wie die Bernoulli-Formel in unterschiedlichen Kontexten angewendet werden kann. Sie ist ein mächtiges Werkzeug in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, das es ermöglicht, die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen in einer Serie von unabhängigen Versuchen präzise zu berechnen.