Die Bernoulli-Verteilung ist eine der grundlegendsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie beschreibt ein Zufallsexperiment, das genau zwei mögliche Ausgänge hat: "Erfolg" und "Misserfolg". Diese Art von Experiment wird oft als Bernoulli-Experiment bezeichnet.
1. Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung: Die Bernoulli-Verteilung ist eine diskrete Verteilung, was bedeutet, dass sie nur bestimmte, klar abgegrenzte Werte annimmt. In diesem Fall sind die möglichen Werte 0 und 1.
2. Parameter p: Die Bernoulli-Verteilung wird durch einen Parameter $p$ beschrieben, der die Wahrscheinlichkeit für einen "Erfolg" (also das Auftreten des Ereignisses 1) angibt. Das Ereignis "Misserfolg" (also das Auftreten des Ereignisses 0) hat dann die Wahrscheinlichkeit $1 - p$.
3. Wahrscheinlichkeitsfunktion: Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Bernoulli-Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für jeden möglichen Ausgang des Experiments an: $P(X = x) = \begin{cases} p &; \text{wenn } x = 1 \ 1 - p & \text{wenn } x = 0 \end{cases}$ Hierbei ist $X$ die Zufallsvariable, die den Ausgang des Experiments darstellt, und $x$ ist der Wert, den $X$ annimmt (entweder 0 oder 1).
Der Erwartungswert (auch Mittelwert genannt) einer Zufallsvariablen ist ein Maß für den Durchschnittswert, den man bei sehr vielen Wiederholungen des Zufallsexperiments erwarten würde. Für eine Bernoulli-Verteilung kann der Erwartungswert einfach berechnet werden.
Formel für den Erwartungswert: $E(X) = \sum_{x} x \cdot P(X = x)$
In der Bernoulli-Verteilung gibt es nur zwei mögliche Werte für $x$ (0 und 1), daher vereinfacht sich die Berechnung zu: $E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1)$ $E(X) = 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p$ $E(X) = p$
Der Erwartungswert einer Bernoulli-Verteilung ist also gleich der Erfolgswahrscheinlichkeit $p$. Dies bedeutet, dass wenn man das Bernoulli-Experiment sehr oft durchführt, der durchschnittliche Wert der Ergebnisse $p$ sein wird.
Angenommen, wir haben ein Bernoulli-Experiment, bei dem eine Münze geworfen wird. Wir definieren "Erfolg" als das Auftreten von "Kopf" und "Misserfolg" als das Auftreten von "Zahl". Wenn die Münze fair ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit für "Kopf" $p = 0,5$.
Die Bernoulli-Verteilung für dieses Experiment wäre: $P(X = 1) = 0,5$ $P(X = 0) = 1 - 0,5 = 0,5$
Der Erwartungswert der Bernoulli-Verteilung wäre: $E(X) = 0,5$
Das bedeutet, dass bei sehr vielen Münzwürfen der durchschnittliche Anteil an "Kopf" 50% betragen würde.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Bernoulli-Verteilung eine einfache, aber sehr wichtige Verteilung in der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung ist, da sie die Grundlage für komplexere Verteilungen wie die Binomialverteilung bildet.