Herleitung der Bernoulli Formel

Die Bernoulli-Formel ist ein fundamentales Konzept in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, insbesondere im Zusammenhang mit der Bernoulli-Verteilung und der Binomialverteilung. Um die Bernoulli-Formel zu verstehen, müssen wir zunächst einige Grundbegriffe und Prinzipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennenlernen.

Grundbegriffe und Definitionen

1. Bernoulli-Experiment: Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, das genau zwei mögliche Ergebnisse hat: "Erfolg" (oft mit 1 bezeichnet) und "Misserfolg" (oft mit 0 bezeichnet). Ein Beispiel für ein Bernoulli-Experiment ist das Werfen einer Münze, bei dem die beiden möglichen Ergebnisse "Kopf" (Erfolg) und "Zahl" (Misserfolg) sind.

2. Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit ist ein Maß dafür, wie wahrscheinlich ein bestimmtes Ereignis ist. Sie wird mit einer Zahl zwischen 0 und 1 ausgedrückt, wobei 0 bedeutet, dass das Ereignis unmöglich ist, und 1 bedeutet, dass das Ereignis sicher ist.

3. Erfolgswahrscheinlichkeit (p): Die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Bernoulli-Experiment zu einem Erfolg führt.

4. Misserfolgswahrscheinlichkeit (q): Die Misserfolgswahrscheinlichkeit $q$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Bernoulli-Experiment zu einem Misserfolg führt. Da es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt, gilt $q = 1 - p$.

Die Bernoulli-Formel

Die Bernoulli-Formel beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Serie von $n$ unabhängigen Bernoulli-Experimenten genau $k$ Erfolge auftreten. Diese Formel ist besonders nützlich, um Wahrscheinlichkeiten in realen Szenarien zu berechnen, in denen mehrere unabhängige Experimente durchgeführt werden.

Die Bernoulli-Formel lautet:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}$

Hierbei stehen die Symbole für:

• $P(X = k)$: Die Wahrscheinlichkeit, dass genau $k$ Erfolge in $n$ Versuchen auftreten.
• $\binom{n}{k}$: Der Binomialkoeffizient, der die Anzahl der Möglichkeiten darstellt, $k$ Erfolge in $n$ Versuchen anzuordnen. Der Binomialkoeffizient wird auch als "n über k" gelesen und berechnet sich wie folgt:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$

Hierbei ist $n!$ (n-Fakultät) das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis $n$.

• $p^k$: Die Wahrscheinlichkeit, dass $k$ Erfolge auftreten, wobei jeder Erfolg die Wahrscheinlichkeit $p$ hat.
• $(1 - p)^{n - k}$: Die Wahrscheinlichkeit, dass die verbleibenden $n - k$ Versuche Misserfolge sind, wobei jeder Misserfolg die Wahrscheinlichkeit $1 - p$ hat.

Beispiel zur Veranschaulichung

Betrachten wir ein einfaches Beispiel, um die Anwendung der Bernoulli-Formel zu verdeutlichen:

Stellen Sie sich vor, wir werfen eine faire Münze (d.h. $p = 0.5$) 5 Mal. Wir möchten die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass genau 2 Mal "Kopf" (Erfolg) erscheint.

Hier sind die Schritte zur Berechnung:

1. Binomialkoeffizient:

$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5 - 2)!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!} = \frac{20}{2} = 10$

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit:

$P(X = 2) = \binom{5}{2} \times (0.5)^2 \times (1 - 0.5)^{5 - 2}$

$P(X = 2) = 10 \times (0.5)^2 \times (0.5)^3$

$P(X = 2) = 10 \times 0.25 \times 0.125$

$P(X = 2) = 10 \times 0.03125$

$P(X = 2) = 0.3125$

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 5 Münzwürfen genau 2 Mal "Kopf" erscheint, beträgt also 0.3125 oder 31.25%.

Fazit

Die Bernoulli-Formel ist ein mächtiges Werkzeug in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, das es ermöglicht, die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in einer Serie von unabhängigen Bernoulli-Experimenten zu berechnen. Durch das Verständnis der zugrunde liegenden Konzepte und die Anwendung der Formel können wir viele praktische Probleme lösen, von Qualitätskontrolle bis hin zu medizinischen Studien.