Definition und mathematische Formulierung der Bernoulli-Verteilung

Die Bernoulli-Verteilung ist eine der grundlegendsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie beschreibt den Ausgang eines Experiments, das genau zwei mögliche Ergebnisse hat: Erfolg oder Misserfolg. Ein typisches Beispiel für ein solches Experiment ist ein Münzwurf, bei dem es nur zwei Ergebnisse geben kann: Kopf oder Zahl.

Grundbegriffe und Definitionen

1. Zufallsvariable: Eine Zufallsvariable ist eine Variable, die den Ausgang eines Zufallsexperiments beschreibt. In der Bernoulli-Verteilung nehmen wir an, dass die Zufallsvariable $X$ zwei Werte annehmen kann:

• $X = 1$ (Erfolg)
• $X = 0$ (Misserfolg)

2. Wahrscheinlichkeitsmaß: Dies ist eine Funktion, die jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Wahrscheinlichkeit zuordnet. In der Bernoulli-Verteilung ist diese Funktion durch die Parameter $p$ und $q$ definiert:

• $p$: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Experiment ein Erfolg ist ($X = 1$)
• $q$: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Experiment ein Misserfolg ist ($X = 0$)

Da es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt, gilt immer $p + q = 1$. Häufig wird $q$ auch als $1 - p$ geschrieben.

Mathematische Formulierung

Die Bernoulli-Verteilung wird durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P(X = x)$ beschrieben, die für $x = 0$ oder $x = 1$ wie folgt definiert ist:

$ P(X = x) = \begin{cases} p & \text{wenn } x = 1 \\ 1 - p & \text{wenn } x = 0 \end{cases} $

Hierbei bedeutet:

• $P(X = 1) = p$: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Experiment ein Erfolg ist.
• $P(X = 0) = 1 - p$: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Experiment ein Misserfolg ist.

Eigenschaften der Bernoulli-Verteilung

1. Erwartungswert (Mittelwert): Der Erwartungswert $E(X)$ einer Bernoulli-Verteilung ist der durchschnittliche Wert, den die Zufallsvariable $X$ bei unendlich vielen Wiederholungen des Experiments annehmen würde. Für die Bernoulli-Verteilung ist der Erwartungswert:

$ E(X) = p $

Dies bedeutet, dass der durchschnittliche Anteil der Erfolge in vielen Wiederholungen des Experiments gleich der Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ ist.

2. Varianz: Die Varianz $Var(X)$ einer Bernoulli-Verteilung misst die Streuung der Zufallsvariable $X$ um ihren Erwartungswert. Für die Bernoulli-Verteilung ist die Varianz:

$ Var(X) = p(1 - p) = pq $

Dies zeigt, wie stark die Ergebnisse um den Mittelwert schwanken. Je näher $p$ bei 0,5 liegt, desto größer ist die Varianz.

Beispiele und Anwendungen

Die Bernoulli-Verteilung wird oft verwendet, um einfache Zufallsexperimente zu modellieren, bei denen es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt. Einige typische Beispiele sind:

• Münzwurf: Ein Münzwurf, bei dem Kopf als Erfolg und Zahl als Misserfolg definiert ist, folgt einer Bernoulli-Verteilung mit $p = 0,5$.
• Qualitätsprüfung: In der Qualitätsprüfung kann das Ergebnis eines Tests an einem Produkt entweder in Ordnung (Erfolg) oder fehlerhaft (Misserfolg) sein.
• Umfragen: Bei Umfragen, bei denen Teilnehmer gefragt werden, ob sie einer bestimmten Aussage zustimmen (Erfolg) oder nicht zustimmen (Misserfolg), kann die Zustimmung als Bernoulli-verteilte Zufallsvariable modelliert werden.