Momente, Schiefemaße und Wölbung

In diesem Abschnitt werden wir die Konzepte der Momente, der Schiefemaße und der Wölbung besprechen. Diese Begriffe mögen auf den ersten Blick kompliziert erscheinen, aber wir werden sie Schritt für Schritt erklären, um ein fundiertes Verständnis zu ermöglichen.

Momente

Definition und Grundbegriffe
Momente sind statistische Kennzahlen, die bestimmte Eigenschaften einer Verteilung beschreiben. Es gibt verschiedene Arten von Momenten, die jeweils unterschiedliche Aspekte der Daten analysieren.

1. Moment (Erwartungswert oder Mittelwert)
Das erste Moment einer Verteilung ist der Mittelwert (auch Erwartungswert genannt). Der Mittelwert ist der Durchschnitt aller beobachteten Werte und gibt einen zentralen Lageparameter der Verteilung an. Für eine diskrete Verteilung wird der Mittelwert $\mu$ wie folgt berechnet: $\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$ Dabei ist $x_i$ der i-te Wert der Daten und $n$ die Anzahl der Datenpunkte.

2. Moment (Varianz)
Das zweite Moment ist die Varianz. Die Varianz misst die Streuung der Datenwerte um den Mittelwert und gibt Aufschluss darüber, wie breit oder schmal die Verteilung ist. Sie wird berechnet als: $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2$ Die Standardabweichung $\sigma$ ist die Quadratwurzel der Varianz und wird häufig verwendet, um die Streuung der Daten in derselben Einheit wie die Daten selbst darzustellen.

3. und höhere Momente
Das dritte Moment und höhere Momente werden seltener verwendet, bieten jedoch wertvolle Informationen über die Form der Verteilung. Das dritte Moment ist das Maß für die Schiefe (Asymmetrie) und das vierte Moment ist das Maß für die Wölbung (Kurtosis).

Schiefemaße (Asymmetrie)

Definition
Schiefemaße quantifizieren die Asymmetrie einer Verteilung. Eine Verteilung ist symmetrisch, wenn sie auf beiden Seiten des Mittelwerts spiegelbildlich ist. Wenn dies nicht der Fall ist, sprechen wir von einer schiefen Verteilung.

Berechnung der Schiefe
Die Schiefe $\gamma_1$ einer Verteilung kann berechnet werden als: $\gamma_1 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{x_i - \mu}{\sigma} \right)^3$ Eine positive Schiefe bedeutet, dass die Verteilung eine längere oder dickere rechte Schwanzseite hat (rechtsschief). Eine negative Schiefe zeigt an, dass die Verteilung eine längere oder dickere linke Schwanzseite hat (linksschief).

Interpretation der Schiefe

• Rechtsschief (positive Schiefe): Der Großteil der Daten liegt links vom Mittelwert, und es gibt einige hohe Ausreißer.
• Linksschief (negative Schiefe): Der Großteil der Daten liegt rechts vom Mittelwert, und es gibt einige niedrige Ausreißer.
• Symmetrisch: Der Wert der Schiefe ist nahe null, was bedeutet, dass die Verteilung ungefähr symmetrisch ist.

Wölbung (Kurtosis)

Definition
Die Wölbung misst die Spitzigkeit oder Flachheit einer Verteilung im Vergleich zur Normalverteilung. Eine hohe Wölbung bedeutet, dass die Verteilung spitz und schmal ist, während eine niedrige Wölbung auf eine flache und breite Verteilung hinweist.

Berechnung der Wölbung
Die Wölbung $\gamma_2$ einer Verteilung wird berechnet als: $\gamma_2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{x_i - \mu}{\sigma} \right)^4 - 3$ Der Ausdruck (-3) wird subtrahiert, um die Wölbung der Normalverteilung auf null zu setzen.

Interpretation der Wölbung

• Leptokurtisch (positive Wölbung): Die Verteilung hat eine hohe Wölbung, was auf viele Datenwerte in den Extrembereichen hinweist (spitzer als die Normalverteilung).
• Platyurtisch (negative Wölbung): Die Verteilung hat eine niedrige Wölbung, was auf weniger Datenwerte in den Extrembereichen hinweist (flacher als die Normalverteilung).
• Mesokurtisch: Die Wölbung ist nahe null, was bedeutet, dass die Verteilung ähnlich wie die Normalverteilung ist.

Zusammenfassung

Momente, Schiefemaße und Wölbung sind wichtige Werkzeuge in der Statistik, um die Verteilung von Daten zu beschreiben. Das erste Moment (Mittelwert) gibt die zentrale Tendenz an, das zweite Moment (Varianz) misst die Streuung, und die höheren Momente (Schiefe und Wölbung) beschreiben die Form der Verteilung.