Standardisierung einer Variablen

Die Standardisierung einer Variablen ist ein Verfahren, um verschiedene Datensätze vergleichbar zu machen, insbesondere wenn diese unterschiedliche Maßeinheiten oder Mittelwerte haben. Bei der Standardisierung wird eine Variable so transformiert, dass sie einen Mittelwert von null und eine Standardabweichung von eins hat. Diese Transformation wird auch Z-Transformation oder Z-Standardisierung genannt.

Warum ist die Standardisierung wichtig?

1. Vergleichbarkeit: Unterschiedliche Datensätze können unterschiedliche Skalen und Einheiten haben. Zum Beispiel könnte eine Variable in Metern gemessen werden, während eine andere in Kilogramm gemessen wird. Durch die Standardisierung wird es möglich, diese verschiedenen Variablen direkt zu vergleichen.

2. Statistische Analyse: Viele statistische Methoden, wie die lineare Regression oder die Hauptkomponentenanalyse, setzen voraus, dass die Variablen standardisiert sind. Dies stellt sicher, dass jede Variable gleich stark in die Analyse einfließt und verhindert, dass Variablen mit größeren Skalen die Ergebnisse dominieren.

Der Prozess der Standardisierung

Die Standardisierung erfolgt in zwei Schritten:

1. Berechnung des Mittelwerts (μ) und der Standardabweichung (σ):

   • Der Mittelwert einer Variable ist die Summe aller Beobachtungswerte geteilt durch die Anzahl der Beobachtungen. Er gibt den Durchschnitt der Daten an.
   • Die Standardabweichung misst die durchschnittliche Entfernung der Beobachtungswerte vom Mittelwert. Sie gibt an, wie stark die Werte um den Mittelwert streuen.

   Die Formeln für den Mittelwert und die Standardabweichung sind:

   • Mittelwert (μ): $\mu = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i$ wobei $N$ die Anzahl der Beobachtungen und $x_i$ die einzelnen Beobachtungswerte sind.

   • Standardabweichung (σ): $ \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2} $

2. Transformation der ursprünglichen Werte:

   • Jedes Originaldatum $x_i$ wird in eine standardisierte Form $z_i$ umgewandelt. Diese Transformation wird mit der folgenden Formel durchgeführt: $ z_i = \frac{x_i - \mu}{\sigma} $ Hierbei ist $z_i$ der standardisierte Wert, $x_i$ der ursprüngliche Wert, (μ) der Mittelwert und (σ) die Standardabweichung.

Beispiel zur Veranschaulichung

Nehmen wir an, wir haben eine Datenreihe von Körpergrößen in Zentimetern:

• Daten: 160, 170, 180, 190, 200

• Anzahl der Beobachtungen (N): 5

• Berechnung des Mittelwerts: $ \mu = \frac{160 + 170 + 180 + 190 + 200}{5} = 180 $

• Berechnung der Standardabweichung: $ \sigma = \sqrt{\frac{(160 - 180)^2 + (170 - 180)^2 + (180 - 180)^2 + (190 - 180)^2 + (200 - 180)^2}{5}} $ $ \sigma = \sqrt{\frac{400 + 100 + 0 + 100 + 400}{5}} = \sqrt{200} \approx 14.14 $

• Standardisierung der Werte:

  • Für (160): $ z = \frac{160 - 180}{14.14} \approx -1.41 $
  • Für (170): $ z = \frac{170 - 180}{14.14} \approx -0.71 $
  • Für (180): $ z = \frac{180 - 180}{14.14} = 0 $
  • Für (190): $ z = \frac{190 - 180}{14.14} \approx 0.71 $
  • Für (200): $ z = \frac{200 - 180}{14.14} \approx 1.41 $

Nach der Standardisierung haben die neuen (z)-Werte einen Mittelwert von 0 und eine Standardabweichung von 1.

Zusammenfassung

Die Standardisierung ist ein nützliches Verfahren, um Variablen mit unterschiedlichen Skalen vergleichbar zu machen und statistische Analysen zu erleichtern. Durch die Umwandlung der Daten in standardisierte Werte mit einem Mittelwert von null und einer Standardabweichung von eins können wir sicherstellen, dass jede Variable gleich stark in die Analyse einfließt.