Durchschnittliche Abweichung

Einleitung

In der Statistik ist es wichtig, nicht nur den Mittelwert (auch Durchschnitt genannt) einer Datenreihe zu kennen, sondern auch zu verstehen, wie stark die einzelnen Datenpunkte vom Mittelwert abweichen. Diese Abweichung gibt Aufschluss über die Variabilität oder Streuung der Daten. Ein Maß für diese Streuung ist die durchschnittliche Abweichung.

Definition der durchschnittlichen Abweichung

Die durchschnittliche Abweichung ist das arithmetische Mittel der absoluten Abweichungen der Datenwerte von ihrem Mittelwert. Anders gesagt, sie gibt an, wie weit die einzelnen Werte im Durchschnitt vom Mittelwert entfernt sind.

Berechnung der durchschnittlichen Abweichung

Um die durchschnittliche Abweichung zu berechnen, sind folgende Schritte notwendig:

1. Berechnung des Mittelwerts (arithmetisches Mittel):
   Zunächst berechnet man den Mittelwert der Datenreihe. Der Mittelwert wird berechnet, indem man die Summe aller Datenwerte durch die Anzahl der Datenwerte teilt.

   $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

   Dabei ist $\bar{x}$ der Mittelwert, $x_i$ sind die einzelnen Datenwerte und $n$ ist die Anzahl der Datenwerte.

2. Berechnung der Abweichungen:
   Für jeden Datenwert $x_i$ wird die Abweichung vom Mittelwert berechnet:

   $d_i = x_i - \bar{x}$

   Dabei ist $d_i$ die Abweichung des $i$-ten Wertes vom Mittelwert.

3. Berechnung der absoluten Abweichungen:
   Da uns die Richtung der Abweichung (ob positiv oder negativ) nicht interessiert, betrachten wir die absoluten Abweichungen:

   $|d_i| = |x_i - \bar{x}|$

   Dabei ist $|d_i|$ die absolute Abweichung des $i$-ten Wertes.

4. Berechnung der durchschnittlichen Abweichung:
   Schließlich wird die durchschnittliche Abweichung berechnet, indem man das arithmetische Mittel der absoluten Abweichungen bildet:

   $\text{Durchschnittliche Abweichung} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|$

   Dies ergibt den durchschnittlichen Betrag der Abweichungen der Datenwerte vom Mittelwert.

Beispiel

Betrachten wir eine einfache Datenreihe: 3, 5, 7, 9, 11.

1. Berechnung des Mittelwerts: $\bar{x} = \frac{3 + 5 + 7 + 9 + 11}{5} = \frac{35}{5} = 7$

2. Berechnung der Abweichungen: $ \begin{align} d_1 & = 3 - 7 = -4 \\ d_2 & = 5 - 7 = -2 \\ d_3 & = 7 - 7 = 0 \\ d_4 & = 9 - 7 = 2 \\ d_5 & = 11 - 7 = 4 \\ \end{align} $

3. Berechnung der absoluten Abweichungen: $ \begin{align} |d_1| & = | - 4 | = 4 \\ |d_2| & = | - 2 | = 2 \\ |d_3| & = |0| = 0 \\ |d_4| & = |2| = 2 \\ |d_5| & = |4| = 4 \\ \end{align} $

4. Berechnung der durchschnittlichen Abweichung: $ \text{Durchschnittliche Abweichung} = \frac{4 + 2 + 0 + 2 + 4}{5} = \frac{12}{5} = 2,4 $

Die durchschnittliche Abweichung der Datenreihe 3, 5, 7, 9, 11 beträgt also 2,4.

Bedeutung und Anwendung

Die durchschnittliche Abweichung ist ein nützliches Maß, um die Variabilität der Daten zu beschreiben. Sie ist jedoch weniger gebräuchlich als andere Streuungsmaße wie die Varianz oder die Standardabweichung, da sie auf absoluten Abweichungen basiert, die mathematisch weniger bequem zu handhaben sind.

Die durchschnittliche Abweichung bietet dennoch eine leicht verständliche Metrik für die Streuung der Daten, insbesondere wenn eine einfache und intuitive Darstellung der Variabilität gewünscht ist.

Zusammenfassung

Die durchschnittliche Abweichung ist ein grundlegendes Streuungsmaß, das die durchschnittliche Entfernung der Datenwerte vom Mittelwert angibt. Sie wird berechnet, indem man die absoluten Abweichungen der Datenwerte vom Mittelwert mittelt. Obwohl sie weniger verbreitet ist als andere Streuungsmaße, bietet sie eine einfache und anschauliche Methode zur Beschreibung der Variabilität in einer Datenreihe.