Prozentbreite, Quartilbreite, mittlerer Quartilsabstand

In diesem Abschnitt werden wir die Begriffe Prozentbreite, Quartilbreite und mittlerer Quartilsabstand einführen und erklären. Diese Konzepte sind wichtige Streuungsmaße, die uns helfen, die Verteilung und Streuung von Daten zu verstehen.

Prozentbreite

Die Prozentbreite ist ein Maß, das angibt, in welchem Bereich eine bestimmte Prozentzahl der Datenwerte liegt. Sie ist besonders nützlich, um zu verstehen, wie sich die Daten innerhalb eines bestimmten Prozentsatzes konzentrieren. Beispielsweise könnte man die 90%-Prozentbreite betrachten, um zu sehen, wie breit der Bereich ist, in dem 90% der Daten liegen.

• Berechnung: Um die Prozentbreite zu berechnen, sortiert man die Daten in aufsteigender Reihenfolge und bestimmt die Werte, die den gewünschten Prozentsatz einschließen. Zum Beispiel umfasst die 90%-Prozentbreite den Bereich zwischen dem 5. und 95. Perzentil (da 5% der Daten links und 5% der Daten rechts außerhalb dieses Bereichs liegen).

Quartilbreite

Die Quartilbreite, auch als Interquartilsabstand (IQR) bezeichnet, ist ein spezifisches Streuungsmaß, das den Bereich zwischen dem ersten Quartil (Q1) und dem dritten Quartil (Q3) beschreibt. Quartile teilen eine geordnete Datenmenge in vier gleich große Teile.

• Quartile:

  • Das erste Quartil (Q1) ist der Wert, unterhalb dessen 25% der Daten liegen.
  • Das dritte Quartil (Q3) ist der Wert, unterhalb dessen 75% der Daten liegen.
  • Das zweite Quartil (Q2) ist der Median und teilt die Daten in zwei Hälften (50% der Daten liegen darunter und 50% darüber).

• Berechnung: Die Quartilbreite wird berechnet, indem man das erste Quartil vom dritten Quartil subtrahiert:
  $\text{Quartilbreite (IQR)} = Q3 - Q1$ Die Quartilbreite gibt an, in welchem Bereich die mittleren 50% der Daten liegen.

Mittlerer Quartilsabstand

Der mittlere Quartilsabstand ist ein Streuungsmaß, das die durchschnittliche Entfernung der Datenwerte von den Quartilen misst. Es ist ein Maß dafür, wie stark die Daten innerhalb der Quartile streuen.

• Berechnung: Der mittlere Quartilsabstand wird berechnet, indem man die absoluten Abweichungen der Datenwerte von Q1 und Q3 mittelt. Mathematisch wird dies oft als der Durchschnitt der absoluten Abweichungen von Q1 und Q3 ausgedrückt: $\text{Mittlerer Quartilsabstand} = \frac{\sum_{i=1}^{n/2} |x_i - Q1| + \sum_{i=n/2+1}^{n} |x_i - Q3|}{n}$ wobei $x_i$ die einzelnen Datenwerte sind und $n$ die Anzahl der Datenpunkte ist.

Zusammenfassung

Diese Streuungsmaße bieten verschiedene Perspektiven darauf, wie Daten um zentrale Werte (wie das Median oder Quartile) verteilt sind:

• Prozentbreite zeigt, wie breit der Bereich ist, in dem ein bestimmter Prozentsatz der Daten liegt.
• Quartilbreite (IQR) zeigt den Bereich, in dem die mittleren 50% der Daten liegen, und hilft, Ausreißer zu identifizieren.
• Mittlerer Quartilsabstand gibt die durchschnittliche Abweichung der Datenwerte von den Quartilen an und zeigt, wie stark die Daten innerhalb dieses Bereichs streuen.

Diese Maße sind besonders nützlich, um die Verteilung und Streuung von Daten zu verstehen, insbesondere wenn die Daten nicht normalverteilt sind oder Ausreißer enthalten.