Merkmalswerte
In der Statistik ist ein Merkmal eine Eigenschaft oder ein Attribut, das bei den Elementen einer statistischen Masse beobachtet oder gemessen wird. Ein Merkmal kann unterschiedliche Ausprägungen haben, die als Merkmalswerte bezeichnet werden. Beispielsweise kann das Merkmal "Alter" die Werte 20 Jahre, 25 Jahre, 30 Jahre usw. annehmen.
Bezeichnungen und Notationen
Um Merkmalswerte systematisch zu untersuchen, werden spezifische Bezeichnungen und Notationen verwendet. Diese helfen dabei, die Daten strukturiert darzustellen und zu analysieren.
Individuelle Merkmalswerte
Ein individueller Merkmalswert wird häufig mit einem kleinen x und einem Index bezeichnet, der die Position des Wertes in der Datenreihe angibt. Beispielsweise ist x₁ der erste Wert, x₂ der zweite Wert, und so weiter.
Datenreihen und Datensätze
Eine Sammlung von Merkmalswerten wird als Datenreihe oder Datensatz bezeichnet. Wenn das Merkmal beispielsweise das Alter von 10 Personen ist, könnte eine Datenreihe wie folgt aussehen: 25, 30, 22, 28, 35, 31, 24, 29, 33, 27.
Absolute Häufigkeit (f)
Die absolute Häufigkeit eines Merkmalswertes ist die Anzahl der Beobachtungen, bei denen dieser Wert auftritt. Sie wird häufig mit einem kleinen f und einem Index bezeichnet, der den Merkmalswert angibt. Wenn der Wert 25 Jahre dreimal in der Datenreihe vorkommt, ist die absolute Häufigkeit f(25) = 3.
Relative Häufigkeit (h)
Die relative Häufigkeit ist der Anteil der Beobachtungen, bei denen ein bestimmter Merkmalswert auftritt, an der Gesamtzahl der Beobachtungen. Sie wird oft mit einem kleinen h und einem Index bezeichnet und berechnet sich als:
$h(x_i) = \frac{f(x_i)}{n}$
wobei $f(x_i)$ die absolute Häufigkeit des Merkmalswertes $x_i$ und n die Gesamtzahl der Beobachtungen ist. Wenn der Wert 25 Jahre dreimal in einer Datenreihe mit 10 Beobachtungen vorkommt, ist die relative Häufigkeit $h(25) = \frac{3}{10} = 0.3$.
Kumulierte Häufigkeit
Die kumulierte Häufigkeit ist die Summe der absoluten oder relativen Häufigkeiten aller Merkmalswerte, die kleiner oder gleich einem bestimmten Wert sind. Sie gibt an, wie viele Beobachtungen bis zu einem bestimmten Merkmalswert aufgetreten sind.
Beispiel zur Veranschaulichung
Betrachten wir eine Datenreihe mit den Altersangaben von 10 Personen: 25, 30, 22, 28, 25, 31, 24, 25, 33, 27.
Häufigkeitstabellen
Um Merkmalswerte und ihre Häufigkeiten übersichtlich darzustellen, verwendet man Häufigkeitstabellen. Eine Häufigkeitstabelle für unser Beispiel könnte wie folgt aussehen:
| Merkmalswert (Alter) | Absolute Häufigkeit (f) | Relative Häufigkeit (h) | Kumulierte Häufigkeit |
|---|---|---|---|
| 22 | 1 | 0.1 | 1 |
| 24 | 1 | 0.1 | 2 |
| 25 | 3 | 0.3 | 5 |
| 27 | 1 | 0.1 | 6 |
| 28 | 1 | 0.1 | 7 |
| 30 | 1 | 0.1 | 8 |
| 31 | 1 | 0.1 | 9 |
| 33 | 1 | 0.1 | 10 |
Diese Tabelle gibt einen klaren Überblick über die Verteilung der Altersangaben in der Datenreihe und ermöglicht es, verschiedene statistische Analysen durchzuführen.
Zusammenfassend sind Merkmalswerte die spezifischen Ausprägungen eines Merkmals in einer Datenreihe. Absolute und relative Häufigkeiten sowie kumulierte Häufigkeiten sind grundlegende Konzepte, die dabei helfen, die Verteilung dieser Merkmalswerte zu verstehen und zu analysieren. Häufigkeitstabellen sind ein nützliches Werkzeug, um diese Informationen strukturiert darzustellen.