Zeitreihenmodelle

Zeitreihenmodelle sind Werkzeuge, die verwendet werden, um Daten, die über einen bestimmten Zeitraum gesammelt wurden, zu analysieren und zu verstehen. Diese Modelle helfen dabei, Muster zu erkennen, zukünftige Werte vorherzusagen und die zugrunde liegenden Prozesse zu verstehen, die die Daten beeinflussen. Es gibt verschiedene Arten von Zeitreihenmodellen, die je nach Art und Struktur der Daten angewendet werden.

Additive und Multiplikative Modelle

Ein grundlegender Ansatz zur Modellierung von Zeitreihen ist die Unterteilung in additive und multiplikative Modelle. Diese Modelle zerlegen die Zeitreihe in ihre Hauptkomponenten: Trend, Saisonalität und Residuen (Rauschen).

Additives Modell

Das additive Modell geht davon aus, dass die Gesamtzeitreihe die Summe der einzelnen Komponenten ist. Es wird verwendet, wenn die saisonalen Schwankungen ungefähr konstant bleiben, unabhängig vom Niveau des Trends. Das additive Modell kann wie folgt dargestellt werden:

$Y_t = T_t + S_t + R_t$

• $Y_t$: Beobachteter Wert der Zeitreihe zu Zeitpunkt $t$
• $T_t$: Trendkomponente zu Zeitpunkt $t$
• $S_t$: Saisonkomponente zu Zeitpunkt $t$
• $R_t$: Residuen (Zufallskomponente) zu Zeitpunkt $t$

Trendkomponente
Der Trend $T_t$ repräsentiert die langfristige Bewegung der Zeitreihe. Diese Komponente kann z.B. durch eine lineare Funktion (gerade Linie) oder eine nichtlineare Funktion (Kurve) beschrieben werden, die den allgemeinen Anstieg oder Abfall der Zeitreihe über die Zeit darstellt.

Saisonkomponente
Die Saisonkomponente $S_t$ spiegelt die regelmäßigen und wiederkehrenden Muster innerhalb eines festen Zeitintervalls wider, wie z.B. monatliche oder jährliche Schwankungen. Diese Komponente bleibt über die Zeit hinweg relativ konstant.

Residuen
Die Residuen $R_t$ sind die Zufallskomponente der Zeitreihe, die die unvorhersehbaren Schwankungen repräsentiert, die nicht durch den Trend oder die Saison erklärt werden können. Diese Komponente wird oft als "Rauschen" bezeichnet.

Multiplikatives Modell

Das multiplikative Modell geht davon aus, dass die Komponenten der Zeitreihe miteinander multipliziert werden, anstatt sie zu addieren. Es wird verwendet, wenn die saisonalen Schwankungen proportional zum Niveau des Trends sind. Das multiplikative Modell kann wie folgt dargestellt werden:

$Y_t = T_t \times S_t \times R_t$

In diesem Modell wird jede Komponente als ein Faktor betrachtet, der den beobachteten Wert beeinflusst. Das bedeutet, dass hohe Trendwerte zu größeren saisonalen Schwankungen führen.

Zeitreihenmodelle in der Praxis

In der Praxis werden additive und multiplikative Modelle oft auf folgende Weise angewendet:

1. Identifikation der Komponenten: Zuerst wird die Zeitreihe analysiert, um den Trend, die Saisonkomponente und die Residuen zu identifizieren. Dies kann durch grafische Darstellungen und statistische Methoden wie gleitende Durchschnitte oder Glättungsverfahren geschehen.

2. Schätzung der Komponenten: Die einzelnen Komponenten werden geschätzt. Für den Trend können lineare Regression oder nichtlineare Anpassungen verwendet werden. Die Saisonkomponente kann durch Mittelung der Werte über die saisonalen Intervalle geschätzt werden.

3. Modellanpassung: Das gewählte Modell (additiv oder multiplikativ) wird an die Daten angepasst, indem die geschätzten Komponenten zusammengeführt werden, um die beobachtete Zeitreihe zu rekonstruieren.

4. Prognose: Nach der Modellanpassung kann das Modell verwendet werden, um zukünftige Werte der Zeitreihe vorherzusagen. Dies geschieht durch die Extrapolation des Trends und die Wiederholung der Saisonkomponente.

Beispiel

Angenommen, wir haben eine Zeitreihe der monatlichen Verkaufszahlen eines Geschäfts über mehrere Jahre. Wir stellen fest, dass die Verkaufszahlen einen steigenden Trend zeigen und im Dezember jedes Jahres einen Höhepunkt erreichen (Saisonalität).

• Trendkomponente: Wir könnten eine lineare Funktion verwenden, um den Anstieg der Verkaufszahlen über die Jahre zu beschreiben.
• Saisonkomponente: Wir könnten die durchschnittlichen Abweichungen der Verkaufszahlen in jedem Monat von ihrem jährlichen Durchschnitt berechnen, um die saisonalen Schwankungen zu bestimmen.
• Residuen: Die Differenz zwischen den tatsächlichen Verkaufszahlen und der Summe aus Trend und Saisonkomponente gibt uns die Residuen.

Wenn die saisonalen Schwankungen konstant bleiben, nutzen wir ein additives Modell:

$Y_t = T_t + S_t + R_t$

Wenn die saisonalen Schwankungen proportional zum Trend sind, nutzen wir ein multiplikatives Modell:

$Y_t = T_t \times S_t \times R_t$

Durch diese Modelle können wir zukünftige Verkaufszahlen vorhersagen und besser auf saisonale Schwankungen reagieren.

Diese detaillierte Beschreibung der Zeitreihenmodelle zeigt, wie wichtig es ist, die richtige Modellierungsmethode zu wählen und die einzelnen Komponenten einer Zeitreihe sorgfältig zu analysieren, um präzise Prognosen und Analysen zu erstellen.