Um das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit zu verstehen, ist es zunächst wichtig, einige grundlegende Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu klären. Beginnen wir mit dem Begriff "Ereignis".
Ein Ereignis ist ein Ergebnis oder eine Gruppe von Ergebnissen eines Zufallsexperiments. Zum Beispiel kann das Werfen eines Würfels als Zufallsexperiment betrachtet werden, bei dem das Ereignis "eine 6 werfen" ein mögliches Ergebnis ist.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist ein Maß dafür, wie wahrscheinlich es ist, dass dieses Ereignis eintritt. Sie wird üblicherweise als Zahl zwischen 0 und 1 angegeben, wobei 0 bedeutet, dass das Ereignis unmöglich ist, und 1 bedeutet, dass das Ereignis sicher eintritt. Zum Beispiel hat das Ereignis "eine 6 werfen" bei einem fairen sechsseitigen Würfel eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{6}$, weil es sechs mögliche Ergebnisse gibt und nur eines davon eine 6 ist.
Nun kommen wir zur bedingten Wahrscheinlichkeit. Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A, gegeben ein anderes Ereignis B, beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, unter der Bedingung, dass B bereits eingetreten ist. Diese bedingte Wahrscheinlichkeit wird mit $P(A|B)$ bezeichnet, wobei das "|" als "gegeben" gelesen wird.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$ ist definiert als:
$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $
Hierbei gilt:
Es ist wichtig zu beachten, dass $P(A|B)$ nur definiert ist, wenn $P(B) > 0$. Das bedeutet, dass das Ereignis B eine nicht-null Wahrscheinlichkeit haben muss, damit die bedingte Wahrscheinlichkeit sinnvoll berechnet werden kann.
Stellen wir uns vor, wir haben ein Kartenspiel mit 52 Karten, und wir ziehen zwei Karten nacheinander ohne Zurücklegen. Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die zweite gezogene Karte ein Ass ist, gegeben, dass die erste gezogene Karte ein König war.
Hier ist das Ereignis A "die zweite Karte ist ein Ass" und das Ereignis B "die erste Karte ist ein König".
Wahrscheinlichkeit von B, $P(B)$:
Wahrscheinlichkeit von $A \cap B$, $P(A \cap B)$:
Bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$:
Das Ergebnis zeigt, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit, die zweite Karte ist ein Ass, wenn die erste ein König war, $\frac{4}{51}$ beträgt.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$ gibt uns wertvolle Informationen darüber, wie sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A verändert, wenn wir wissen, dass ein anderes Ereignis B eingetreten ist. Es ist ein grundlegendes Konzept in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, das in vielen realen Anwendungen von der Risikobewertung bis zur Entscheidungsfindung eine wichtige Rolle spielt.