Anwendung und Beispiele

In diesem Abschnitt werden wir die Anwendung der bedingten Wahrscheinlichkeit durch praktische Beispiele verdeutlichen. Zunächst ist es wichtig, einige grundlegende Begriffe und Konzepte zu verstehen.

Grundbegriffe:

• Ereignis: Ein Ereignis ist ein Ergebnis oder eine Menge von Ergebnissen eines Zufallsexperiments. Zum Beispiel, wenn wir einen Würfel werfen, könnte das Ereignis "eine gerade Zahl würfeln" {2, 4, 6} sein.

• Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist ein Maß dafür, wie wahrscheinlich es ist, dass das Ereignis eintritt. Sie wird als Zahl zwischen 0 und 1 angegeben, wobei 0 bedeutet, dass das Ereignis unmöglich ist, und 1 bedeutet, dass es sicher ist.

• Bedingte Wahrscheinlichkeit: Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A gegeben ein anderes Ereignis B ist die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, vorausgesetzt, dass B bereits eingetreten ist. Sie wird mit P(A|B) bezeichnet und spricht man "die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B".

Die Formel zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit lautet: $ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $ wobei $P(A \cap B)$ die Wahrscheinlichkeit ist, dass sowohl A als auch B eintreten, und $P(B)$ die Wahrscheinlichkeit ist, dass B eintritt.

Beispiel:

Beispiel 1: Karten ziehen Stellen Sie sich vor, wir haben ein Standardkartenspiel mit 52 Karten. Wir möchten die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine gezogene Karte ein Herz ist, unter der Bedingung, dass sie eine Bildkarte ist (König, Dame oder Bube).

1. Bestimmen Sie die relevanten Ereignisse:

   • Ereignis A: Eine gezogene Karte ist ein Herz.
   • Ereignis B: Eine gezogene Karte ist eine Bildkarte.

2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten:

   • Es gibt 13 Herzen im Kartenspiel, also ist $P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
   • Es gibt insgesamt 12 Bildkarten im Kartenspiel (3 pro Farbe), also ist $P(B) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$.
   • Es gibt 3 Bildkarten, die Herzen sind (Herz König, Herz Dame, Herz Bube), also ist $P(A \cap B) = \frac{3}{52}$.

3. Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit: $ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{3}{52}}{\frac{12}{52}} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $

Das bedeutet, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit, eine Herzkarte zu ziehen, wenn wir wissen, dass die Karte eine Bildkarte ist, 1/4 beträgt. Was auch leicht nachzuvollziehen ist, da es vier verschiedene "Farben" (Kreuz, Pik, Herz, Karo) bei den Karten gibt. Daher ist es offensichtlich, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Karte ein Herz ist, gerade 1/4 beträgt. Unter den Annahmen, dass nur 1 Karte gezogen wird und das Karten-Deck vollständig war.