Der Erwartungswert ist ein grundlegendes Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Er beschreibt den Durchschnittswert, den man bei einem Zufallsexperiment erwarten kann. Mathematisch gesehen ist der Erwartungswert der Mittelwert einer Zufallsvariable über eine große Anzahl von Versuchen.
Für eine diskrete Zufallsvariable $X$ mit den Werten $x_1, x_2, \ldots, x_n$ und den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten $P(X = x_i) = p_i$ wird der Erwartungswert $E(X)$ wie folgt berechnet:
$ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i$
Für eine stetige Zufallsvariable $X$ mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f(x)$ wird der Erwartungswert durch das Integral berechnet:
$ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx$
Betrachten wir einen sechsseitigen Würfel. Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Augenzahl, die beim Würfeln auftritt. Die möglichen Werte von $X$ sind $1, 2, 3, 4, 5$ und $6$, und jede Augenzahl hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$. Der Erwartungswert ist:
$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3.5 $
Die Varianz misst die Streuung einer Zufallsvariable um ihren Erwartungswert. Sie gibt an, wie stark die Werte der Zufallsvariable vom Erwartungswert abweichen. Eine hohe Varianz bedeutet, dass die Werte weit verstreut sind, während eine niedrige Varianz bedeutet, dass die Werte nahe beim Erwartungswert liegen.
Für eine diskrete Zufallsvariable $X$ mit Erwartungswert $E(X)$ wird die Varianz $\mathrm{Var}(X)$ wie folgt berechnet: $ \mathrm{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot p_i$
Für eine stetige Zufallsvariable $X$ mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f(x)$ wird die Varianz durch das Integral berechnet: $\mathrm{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 \cdot f(x) \, dx $
Für den Würfel von oben, bei dem $E(X) = 3.5$, berechnen wir die Varianz:
$\mathrm{Var}(X) = \sum_{i=1}^{6} (x_i - 3.5)^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \left[ (1-3.5)^2 + (2-3.5)^2 + (3-3.5)^2 + (4-3.5)^2 + (5-3.5)^2 + (6-3.5)^2 \right]$
$ = \frac{1}{6} \left[ 6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25 \right] = \frac{17.5}{6} \approx 2.92 $
Die Kovarianz misst, wie zwei Zufallsvariablen $X$ und $Y$ gemeinsam variieren. Sie gibt an, ob und wie stark zwei Variablen zusammenhängen. Eine positive Kovarianz bedeutet, dass beide Variablen dazu neigen, sich in die gleiche Richtung zu bewegen, während eine negative Kovarianz bedeutet, dass sie sich in entgegengesetzte Richtungen bewegen.
Für zwei Zufallsvariablen $X$ und $Y$ mit den Erwartungswerten $E(X)$ und $E(Y)$ wird die Kovarianz $\mathrm{Cov}(X, Y)$ wie folgt berechnet:
$ \mathrm{Cov}(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]$
Betrachten wir zwei Zufallsvariablen $X$ und $Y$, die die Anzahl der Stunden repräsentieren, die zwei verschiedene Studenten pro Woche lernen. Angenommen, wir haben die folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Erwartungswerte $E(X)$ und $E(Y)$. Die Kovarianz wird dann berechnet, indem wir das Produkt der Abweichungen jeder Kombination von $X$ und $Y$ vom jeweiligen Erwartungswert nehmen, multipliziert mit der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit und dann summiert.
Die Korrelation misst die Stärke und Richtung des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Zufallsvariablen. Der Korrelationskoeffizient liegt immer zwischen -1 und 1. Ein Wert von 1 bedeutet eine perfekte positive lineare Beziehung, -1 bedeutet eine perfekte negative lineare Beziehung, und 0 bedeutet keine lineare Beziehung.
Der Korrelationskoeffizient $\rho$ zwischen zwei Zufallsvariablen $X$ und $Y$ wird wie folgt berechnet:
$\rho(X, Y) = \frac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X) \cdot \mathrm{Var}(Y)}}$
Für die Studenten von oben, wenn wir die Varianzen und die Kovarianz berechnet haben, können wir den Korrelationskoeffizienten berechnen, um die Stärke ihrer Lerngewohnheiten zu bewerten.