Varianz und Standardabweichung

Varianz und Standardabweichung sind zwei wichtige Konzepte in der Statistik, die die Streuung oder Dispersion von Daten um ihren Mittelwert messen. Sie geben an, wie stark die einzelnen Datenpunkte von ihrem Durchschnitt abweichen.

1. Varianz

Definition: Die Varianz einer Zufallsvariablen misst die durchschnittliche quadratische Abweichung der Werte vom Erwartungswert. Sie wird durch das Symbol $\sigma^2$ (sigma-Quadrat) dargestellt.

Formel für die Varianz (diskrete Zufallsvariable): Für eine diskrete Zufallsvariable $X$ mit den Werten $$x_1, x_2, \ldots, x_n$$ und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten $$p_1, p_2, \ldots, p_n$$ ist die Varianz definiert als:

$ \text{Var}(X) = \sigma^2 = \sum_{i=1}^n p_i \cdot (x_i - \mu)^2 $

wobei $ \mu = E(X) $ der Erwartungswert von $X$ ist.

Formel für die Varianz (stetige Zufallsvariable): Für eine stetige Zufallsvariable $X$ mit Dichtefunktion $ f(x) $ ist die Varianz definiert als:

$\text{Var}(X) = \sigma^2 = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 \cdot f(x) \, dx $

wobei $\mu = E(X) $ der Erwartungswert von $X$ ist.

Eigenschaften der Varianz:

• Die Varianz ist immer nicht-negativ: $ \text{Var}(X) \geq 0 $.
• Eine Varianz von 0 bedeutet, dass alle Werte gleich sind.
• Die Varianz ist empfindlich gegenüber Ausreißern, da sie auf den quadratischen Abweichungen basiert.

2. Standardabweichung

Definition: Die Standardabweichung ist die positive Quadratwurzel der Varianz. Sie wird durch das Symbol $ \sigma $ (sigma) dargestellt.

Formel für die Standardabweichung:

$\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)} $

Eigenschaften der Standardabweichung:

• Die Standardabweichung hat dieselben Einheiten wie die ursprünglichen Daten, was die Interpretation erleichtert.
• Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Datenpunkte nahe am Mittelwert liegen.
• Eine große Standardabweichung zeigt, dass die Datenpunkte stark um den Mittelwert streuen.

3. Beispiele für Varianz und Standardabweichung

3.1 Diskrete Zufallsvariable

Beispiel: Ein Würfelwurf Die Zufallsvariable $X$ ist die Augenzahl eines fairen sechsseitigen Würfels. Die möglichen Werte sind $1, 2, 3, 4, 5, 6$, jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von $1/6$.

• Erwartungswert:

  $ E(X) = \sum_{i=1}^6 x_i \cdot p_i = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3.5 $

• Varianz:

  $ \text{Var}(X) = \sum_{i=1}^6 p_i \cdot (x_i - \mu)^2 $

  $ \text{Var}(X) = \frac{1}{6} \left[(1 - 3.5)^2 + (2 - 3.5)^2 + (3 - 3.5)^2 + (4 - 3.5)^2 + (5 - 3.5)^2 + (6 - 3.5)^2 \right] $

  $ \text{Var}(X) = \frac{1}{6} \left[6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25 \right] = \frac{17.5}{6} \approx 2.92 $

• Standardabweichung:

  $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{2.92} \approx 1.71 $

3.2 Stetige Zufallsvariable

Beispiel: Gleichverteilung Die Zufallsvariable $X$ ist gleichverteilt im Intervall $[a, b]$ mit der Dichtefunktion $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ für $a \leq x \leq b$.

• Erwartungswert:

  $ \mu = E(X) = \frac{a + b}{2} $

• Varianz:

  $ \text{Var}(X) = \int_{a}^{b} (x - \mu)^2 \cdot \frac{1}{b-a} \, dx $

  $ \text{Var}(X) = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} \left(x - \frac{a+b}{2} \right)^2 \, dx $

  $ \text{Var}(X) = \frac{1}{b-a} \cdot \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{(b-a)^2}{12} $

• Standardabweichung:

  $ \sigma = \sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{\frac{(b-a)^2}{12}} = \frac{b-a}{\sqrt{12}} $

4. Anwendungen von Varianz und Standardabweichung

4.1 Risikobewertung: In der Finanzwirtschaft werden Varianz und Standardabweichung verwendet, um das Risiko von Investitionen zu bewerten. Eine höhere Standardabweichung bedeutet ein höheres Risiko.

4.2 Qualitätssicherung: In der Qualitätssicherung helfen Varianz und Standardabweichung, die Konsistenz und Zuverlässigkeit von Produkten zu messen. Geringere Werte bedeuten höhere Produktqualität.

4.3 Statistik: In der Statistik werden diese Maße verwendet, um die Streuung von Daten zu analysieren und Hypothesentests durchzuführen.

4.4 Wissenschaftliche Forschung: In der Forschung werden Varianz und Standardabweichung verwendet, um die Variabilität von Messungen zu quantifizieren und die Genauigkeit von Experimenten zu beurteilen.

5. Praktische Übungen

Übung 1: Diskrete Zufallsvariable Gegeben ist eine Zufallsvariable $X$ mit den Werten 1, 2, 3 und den Wahrscheinlichkeiten $0.2, 0.5, 0.3$. Berechne den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.

Lösung:

• Erwartungswert:

  $ E(X) = 1 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.3 = 2.1 $

• Varianz:

  $\text{Var}(X) = 0.2 \cdot (1 - 2.1)^2 + 0.5 \cdot (2 - 2.1)^2 + 0.3 \cdot (3 - 2.1)^2 $

  $\text{Var}(X) = 0.2 \cdot 1.21 + 0.5 \cdot 0.01 + 0.3 \cdot 0.81 = 0.242 + 0.005 + 0.243 = 0.49 $

• Standardabweichung:

  $ \sigma = \sqrt{0.49} = 0.7 $

Übung 2: Stetige Zufallsvariable Gegeben ist eine stetige Zufallsvariable $X$ mit der Dichtefunktion $ f(x) = 2x $ für $(0 \leq x \leq 1 )$. Berechne den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.

Lösung:

• Erwartungswert:

  $E(X) = \int_{0}^{1} x \cdot 2x \, dx = \int_{0}^{1} 2x^2 \, dx = 2 \cdot \left[\frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $

• Varianz:

  $ \text{Var}(X) = \int_{0}^{1} (x - \frac{2}{3})^2 \cdot 2x \, dx $

  $ \text{Var}(X) = 2 \cdot \int_{0}^{1} (x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}) \, x \, dx $

  $ \text{Var}(X) = 2 \cdot \int_{0}^{1} (x^3 - \frac{4}{3}x^2 + \frac{4}{9}x) \, dx $

  $ \text{Var}(X) = 2 \cdot \left[\frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{9} + \frac{2x^2}{9} \right]_{0}^{1} $

  $ \text{Var}(X) = 2 \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{4}{9} + \frac{2}{9} \right) = 2 \cdot \left(\frac{9}{36} - \frac{16}{36} + \frac{8}{36} \right) $

  $ \text{Var}(X) = 2 \cdot \left(\frac{1}{36} \right) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} $

• Standardabweichung:

  $ \sigma = \sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{\frac{1}{18}} = \frac{1}{\sqrt{18}} = \frac{1}{3\sqrt{2}} \approx 0.2357 $

Fazit

Varianz und Standardabweichung sind wesentliche statistische Maße, die die Streuung von Daten um ihren Mittelwert quantifizieren. Sie sind entscheidend für die Analyse und Interpretation von Daten in verschiedenen Bereichen wie Finanzwesen, Qualitätssicherung, wissenschaftlicher Forschung und Statistik.