Laplace-Experiment
Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Diese Art von Experiment ist nach dem Mathematiker Pierre-Simon Laplace benannt.
Grundlegende Begriffe und Konzepte
Ereignis: Ein Ereignis ist eine Menge von möglichen Ergebnissen eines Zufallsexperiments. Zum Beispiel, beim Werfen eines Würfels könnte das Ereignis "gerade Zahl" die Ergebnisse {2, 4, 6} umfassen.
Ereignisraum: Der Ereignisraum (auch Stichprobenraum oder Ergebnisraum genannt) ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Beim Werfen eines normalen sechsseitigen Würfels ist der Ereignisraum {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist ein Maß dafür, wie wahrscheinlich es ist, dass dieses Ereignis eintritt. Bei Laplace-Experimenten wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet, indem die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse geteilt wird.
Definition
Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem es $n$ mögliche Ergebnisse gibt, die alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Diese Gleichwahrscheinlichkeit bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Ergebnis $\frac{1}{n}$ beträgt.
Beispiel: Werfen eines fairen Würfels
Beim Werfen eines fairen (also nicht gezinkten) sechsseitigen Würfels gibt es sechs mögliche Ergebnisse: die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Da der Würfel fair ist, hat jede dieser Augenzahlen die gleiche Wahrscheinlichkeit aufzutreten, nämlich $\frac{1}{6}$.
Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment
Die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit $P$ eines Ereignisses $A$ in einem Laplace-Experiment lautet:
$ P(A) = \frac{|A|}{|S|} $
Hierbei steht:
- $|A|$ für die Anzahl der günstigen Ergebnisse, also die Anzahl der Ergebnisse, die zu dem Ereignis $A$ gehören.
- $|S|$ für die Anzahl aller möglichen Ergebnisse im Ereignisraum $S$.
Beispiel: Würfeln mit einem fairen Würfel
Betrachten wir das Beispiel des Wurfens eines fairen sechsseitigen Würfels, bei dem alle Seiten gleich wahrscheinlich sind.
Ereignisraum $S$: Die Menge aller möglichen Ergebnisse ist $S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$. Die Anzahl der möglichen Ergebnisse ist $|S| = 6$.
Ereignis $A$: Nehmen wir an, das Ereignis $A$ sei das Würfeln einer geraden Zahl. Die Menge der günstigen Ergebnisse ist $A = {2, 4, 6}$. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist $|A| = 3$.
Berechnung der Wahrscheinlichkeit:
$ P(A) = \frac{|A|}{|S|} = \frac{3}{6} = 0,5 $
Die Wahrscheinlichkeit, beim Wurf eines fairen Würfels eine gerade Zahl zu würfeln, beträgt also 0,5 oder 50 %.
Beispiel: Ziehen einer Karte aus einem Standard-Kartenspiel
Betrachten wir ein weiteres Beispiel mit einem Standard-Kartenspiel, das 52 Karten enthält.
Ereignisraum $S$: Der Ereignisraum $S$ umfasst alle 52 Karten eines Standard-Kartenspiels. Die Anzahl der möglichen Ergebnisse ist $|S| = 52$.
Ereignis $A$: Nehmen wir an, das Ereignis $A$ sei das Ziehen eines Asses. Die Menge der günstigen Ergebnisse ist $A = \{ \text{Ass von Herzen}, \text{Ass von Karo}, \text{Ass von Pik}, \text{Ass von Kreuz} \}$. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist $|A| = 4$.
Berechnung der Wahrscheinlichkeit:
$ P(A) = \frac{|A|}{|S|} = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \approx 0,077 $
Die Wahrscheinlichkeit, aus einem Standard-Kartenspiel eine Ass zu ziehen, beträgt also etwa 0,077 oder 7,7 %.
Diese Beispiele zeigen, wie die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem Laplace-Experiment berechnet wird, indem man die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse teilt.
Eigenschaften von Laplace-Experimenten
- Gleichwahrscheinlichkeit: In einem Laplace-Experiment sind alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich.
- Endlichkeit: Die Anzahl der möglichen Ergebnisse $n$ ist endlich.
- Symmetrie: Oft liegt Symmetrie vor, wie beim Würfelwurf oder Münzwurf, was die Gleichwahrscheinlichkeit sicherstellt.
Bedeutung in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Laplace-Experimente sind grundlegend für das Verständnis der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie stellen den Basisfall für die Berechnung eines bestimmten Ergebnisses beziehungsweise der Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses dar.
Aufgaben und Lösungen
Aufgabe 1
Ein normaler 6-seitiger Würfel wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl gerade ist?
Aufgabe 2
Ein normaler 6-seitiger Würfel wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl ungerade ist?
Aufgabe 3
Ein normaler 6-seitiger Würfel wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl größer als 6 ist?
Aufgabe 4
Ein normaler 6-seitiger Würfel wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl keine 5 ist?
Aufgabe 5
Ein normaler 6-seitiger Würfel wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl eine Quadratzahl ist?
Aufgabe 6
Ein normaler 6-seitiger Würfel wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl eine Primzahl ist?
Aufgabe 7
Ein normaler 6-seitiger Würfel wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl durch 3 teilbar ist?
Aufgabe 8
Ein normaler 6-seitiger Würfel wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl keine Primzahl ist?
Aufgabe 9
Ein normaler 6-seitiger Würfel wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme 7 ist?
Aufgabe 10
Ein normaler 6-seitiger Würfel wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme eine Primzahl ist?
Aufgabe 11
Ein normaler 6-seitiger Würfel wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme eine Quadratzahl und ungerade ist?
Aufgabe 12
Ein normaler 6-seitiger Würfel wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt der Augenzahlen eine Quadratzahl ist?
Aufgabe 13
Fünf Würfel werden einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens vier Sechser zu würfeln?
Aufgabe 14
Angeblich soll Chevalier de Mèrè im Jahre 1654 Blaise Pascal folgendes Problem gestellt haben:
Stimmt die Chance, in vier Würfen eines Würfels eine Sechs zu werfen, mit der Chance überein, in 24 Würfen zweier Würfel mindestens eine Doppelsechs zu werfen?
- a) Berechne beide Wahrscheinlichkeiten.
- b) Welche ist größer?
Lösungen
Symbole
A ist das gesucht Ereignis
Ω bezeichnet den Grundraum
und P(A) ist die gesucht Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 1
Rechnung
Grundraum: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {2, 4, 6}
P(A) = |A| ⁄ |Ω| = 3 ⁄ 6 = 1 ⁄ 2 = 0,5
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl gerade ist, beträgt 50 %.
Aufgabe 2
Rechnung
Grundraum: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 3, 5}
P(A) = |A| ⁄ |Ω| = 3 ⁄ 6 = 1 ⁄ 2 = 0,5
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl ungerade ist, beträgt 50 % .
Aufgabe 3
Rechnung
Grundraum: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {∅}
P(A) = 0 unmögliches Ereignis
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl größer als 6 ist, beträgt 0 .
Aufgabe 4
Rechnung
Grundraum: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2, 3, 4, 6}
P(A) = |A| ⁄ |Ω| = 5 ⁄ 6 ≈ 0,8333
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl keine 5 ist, beträgt ca. 83,33 % .
Aufgabe 5
Rechnung
Grundraum: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 4}
P(A) = |A| ⁄ |Ω| = 2 ⁄ 6 = 1 ⁄ 3 ≈ 0,3333
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl eine Quadratzahl ist, beträgt ca. 33,33 % .
Aufgabe 6
Rechnung
Grundraum: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {2, 3, 5}
P(A) = |A| ⁄ |Ω| = 3 ⁄ 6 = 1 ⁄ 2 = 0,5
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl eine Primzahl ist, beträgt 50 % .
Aufgabe 7
Rechnung
Grundraum: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {3, 6}
P(A) = |A| ⁄ |Ω| = 2 ⁄ 6 = 1 ⁄ 3 ≈ 0,3333
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl durch 3 teilbar ist, beträgt ca. 33,33 % .
Aufgabe 8
Rechnung
Grundraum: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 4, 6}
P(A) = |A| ⁄ |Ω| = 3 ⁄ 6 = 1 ⁄ 2 = 0,5
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl eine Primzahl ist, beträgt 50 % .
Aufgabe 9
Rechnung
Grundraum:
| Ω = | {1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); |
| (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6); |
| (3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (3, 6); |
| (4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5); (4, 6); |
| (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6); |
| (6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6); } |
A = {(1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); (5, 2); (6, 1)}
P(A) = |A| ⁄ |Ω| = 6 ⁄ 36 = 1 ⁄ 6 ≈ 0,1666
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme 7 ist, beträgt ca. 16,67 % .
Aufgabe 10
Rechnung
Grundraum:
| Ω = | {1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); |
| (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6); |
| (3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (3, 6); |
| (4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5); (4, 6); |
| (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6); |
| (6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6); } |
Primzahlen = {2, 3, 5, 7, 11}
| A = | {(1, 1); (1, 2); (2, 1); (1, 4); (2, 3); (3, 2); |
| (4, 1); (1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); (5, 2); |
| (6, 2); (5, 6); (6, 5)} |
P(A) = |A| ⁄ |Ω| = 15 ⁄ 36 = 5 ⁄ 12 ≈ 0,4166
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme eine Primzahl ist, beträgt ca. 41,67 % .
Aufgabe 11
Rechnung
Grundraum:
| Ω = | {1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); |
| (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6); |
| (3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (3, 6); |
| (4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5); (4, 6); |
| (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6); |
| (6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6); } |
A = {(3, 6); (6, 3); (4, 5); (5, 4)}
P(A) = |A| ⁄ |Ω| = 4 ⁄ 36 = 1 ⁄ 9 ≈ 0,1111
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme ein ungerade Quadratzahl ist, beträgt ca. 11,11 %
Aufgabe 12
Rechnung
Grundraum:
| Ω = | {1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); |
| (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6); |
| (3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (3, 6); |
| (4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5); (4, 6); |
| (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6); |
| (6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6); } |
A = {(1, 1);(2, 2); (1, 4); (4, 1); (3, 3); (4, 4); (5, 5); (6, 6)}
P(A) = |A| ⁄ |Ω| = 8 ⁄ 36 = 2 ⁄ 9 ≈ 0,2222
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt der Augenzahlen eine Quadratzahl ist, beträgt ca. 22,22 % .
Aufgabe 13
Rechnung
Grundraum:
Ω = {(i,j,k,l,m)|1 ≤ i,j,k,l,m ≤ 6} ={(1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 2),..., (6, 6, 6, 6, 1), (6, 6, 6, 6, 2),..., (6, 6, 6, 6, 6)}
|Ω| = 65
A = {(6, 6, 6, 6, 1), (6, 6, 6, 6, 2), (6, 6, 6, 6, 3), (6, 6, 6, 6, 4), (6, 6, 6, 6, 5), (6, 6, 6, 6, 6)}
|A| = 6
P(A) = |A| ⁄ |Ω| = 6 ⁄ 65 = 1 ⁄ 64
Die Wahrscheinlichkeit mindestens vier Sechser zu würfeln beträgt 1 ⁄ 64 (≈ 0,000772).
Aufgabe 14
Symbole
A, B sind die gesuchten Ereignisse
Ω bezeichnet den Grundraum
und P(A) ist die gesucht Wahrscheinlichkeit
Rechnung
a1)
Grundraum:
Ω = {1,...,6}4
|Ω| = 64
A = in 4 Würfen mindestens ein 6 zu werfen. Hier ist der Weg über das Gegenereignis (kein 6 zu werfen) einfacher:
P(A) = 1 - P(Ac)
P(A) = 1 - (5 ⁄ 6)4
P(A) = 671 ⁄ 1296
P(A) ≈ 0,518
a2)
Grundraum:
Ω = {(1,1), (1,2), ..., (6,6)}24
B = in 24 Würfen mindestens eine Doppelsechs. Auch hier ist der Weg über das Gegenereignis (keinen 6er Pasch zu werfen) einfacher:
P(B) = 1 - P(Bc)
P(B) = 1 - (35 ⁄ 36)24
P(B) ≈ 0,491
Die Wahrscheinlichkeit in 4 Würfen mindestens eine 6 zu würfeln, ist größer als die Wahrscheinlichkeit mindestens eine Doppelsechs in 24 Würfen zu erhalten.