Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigen wir uns mit der quantitativen Beschreibung zufälliger Ereignisse. Um die Grundlagen der Wahrscheinlichkeit zu verstehen, ist es wichtig, einige grundlegende Begriffe und Konzepte zu kennen.

1. Zufallsexperiment

Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, der unter genau definierten Bedingungen beliebig oft wiederholt werden kann und dessen Ausgang nicht vorhersehbar ist. Beispiele für Zufallsexperimente sind das Werfen eines Würfels, das Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel oder das Messen der Temperatur zu einem bestimmten Zeitpunkt.

2. Ergebnis und Ergebnismenge

Das Ergebnis eines Zufallsexperiments ist einer der möglichen Ausgänge dieses Experiments. Bei einem Würfelwurf könnte ein Ergebnis zum Beispiel die Augenzahl 3 sein. Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments wird als Ergebnismenge bezeichnet und oft mit dem griechischen Buchstaben $\Omega$ (Omega) symbolisiert.

Beispiel: Beim Werfen eines fairen sechsseitigen Würfels ist die Ergebnismenge $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

3. Ereignis

Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge. Ein Ereignis tritt ein, wenn das Ergebnis des Zufallsexperiments in dieser Teilmenge enthalten ist. Ereignisse können einfach oder zusammengesetzt sein. Ein einfaches Ereignis besteht nur aus einem einzigen Ergebnis, während ein zusammengesetztes Ereignis aus mehreren Ergebnissen besteht.

Beispiel: Beim Werfen eines Würfels könnte das Ereignis $A$ „die Augenzahl ist eine gerade Zahl“ die Teilmenge $A = \{2, 4, 6\}$ der Ergebnismenge sein.

4. Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist ein Maß für die Erwartung, dass das Ereignis eintritt. Die Wahrscheinlichkeit wird als Zahl zwischen 0 und 1 ausgedrückt, wobei 0 bedeutet, dass das Ereignis unmöglich ist, und 1 bedeutet, dass das Ereignis sicher ist. Wahrscheinlichkeiten werden häufig in Brüchen, Dezimalzahlen oder Prozenten angegeben.

Formel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $A$ wird oft mit $P(A)$ bezeichnet. Wenn alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments gleich wahrscheinlich sind, kann die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $A$ berechnet werden, indem die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse geteilt wird:

$ P(A) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} $

Beispiel: Beim Werfen eines fairen sechsseitigen Würfels beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln, also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses (A = {2, 4, 6}):

$ P(A) = \frac{3}{6} = 0,5 $

5. Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung umfasst auch Regeln, um die Wahrscheinlichkeit von zusammengesetzten Ereignissen zu berechnen. Zwei wichtige Regeln sind die Additionsregel und die Multiplikationsregel.

• Additionsregel: Wenn zwei Ereignisse $A$ und $B$ sich gegenseitig ausschließen (d.h. sie können nicht gleichzeitig eintreten), ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder Ereignis $A$ oder Ereignis $B$ eintritt, die Summe der Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse:

$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $

Beispiel: Beim Werfen eines Würfels ist die Wahrscheinlichkeit, entweder eine 2 oder eine 3 zu würfeln:

$ P({2} \cup {3}) = P({2}) + P({3}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $

• Multiplikationsregel: Wenn zwei Ereignisse $A$ und $B$ unabhängig voneinander sind (d.h. das Eintreten des einen Ereignisses beeinflusst nicht das Eintreten des anderen Ereignisses), ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse $A$ und $B$ eintreten, das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse:

$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $

Beispiel: Beim zweimaligen Werfen eines fairen sechsseitigen Würfels ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Wurf eine 2 und beim zweiten Wurf eine 3 geworfen wird:

$ P({2} \cap {3}) = P({2}) \cdot P({3}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} $