Inklusion und Exklusion in der Stochastik

Das Prinzip der Inklusion und Exklusion ist eine wichtige Methode in der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie. Es ermöglicht die Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Vereinigung mehrerer Ereignisse, indem es die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse, ihrer Paare, Dreiergruppen und so weiter berücksichtigt. Diese Methode korrigiert die Überzählung, die auftritt, wenn man einfach die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse addiert.

1. Prinzip der Inklusion und Exklusion

Das Prinzip der Inklusion und Exklusion besagt, dass die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung mehrerer Ereignisse durch sukzessives Hinzufügen und Abziehen der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse, ihrer Paare, Dreiergruppen usw. berechnet werden kann.

Für zwei Ereignisse (A) und (B): $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Für drei Ereignisse (A), (B) und (C): $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$

Für (n) Ereignisse $A_1, A_2, \ldots, A_n$: $P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i \right) = \sum{i=1}^n P(A_i) - \sum{1 \leq i < j \leq n} P(A_i \cap A_j) + \sum{1 \leq i < j < k \leq n} P(A_i \cap A_j \cap A_k) - \cdots + (-1)^{n+1} P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n)$

2. Anwendungen des Prinzips der Inklusion und Exklusion

Beispiel 1: Mindestens eine Eigenschaft

• Gegeben: Eine Umfrage ergab, dass 60% der Menschen Tee trinken, 50% Kaffee trinken und 30% beides trinken. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person mindestens eine der beiden Getränke trinkt?

Lösung:

1. Definiere die Ereignisse:

   • (A): Eine Person trinkt Tee ((P(A) = 0.6)).
   • (B): Eine Person trinkt Kaffee ((P(B) = 0.5)).

2. Berechne die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ $P(A \cup B) = 0.6 + 0.5 - 0.3 = 0.8$

Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mindestens Tee oder Kaffee trinkt, beträgt 0.8 oder 80%.

Beispiel 2: Mindestens eine defekte Komponente

• Gegeben: Ein Gerät besteht aus drei Komponenten $A$, $B$ und $C$. Die Wahrscheinlichkeit, dass jede Komponente defekt ist, beträgt $P(A) = 0.2$, $P(B) = 0.3$ und $P(C) = 0.4$. Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei bestimmte Komponenten gleichzeitig defekt sind, beträgt $P(A \cap B) = 0.1$, $P(A \cap C) = 0.15$ und $P(B \cap C) = 0.05$. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Komponenten gleichzeitig defekt sind, beträgt $P(A \cap B \cap C) = 0.02$. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Komponente defekt ist?

Lösung:

1. Definiere die Ereignisse:

   • (A): Komponente A ist defekt.
   • (B): Komponente B ist defekt.
   • (C): Komponente C ist defekt.

2. Berechne die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung: $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$ $P(A \cup B \cup C) = 0.2 + 0.3 + 0.4 - 0.1 - 0.15 - 0.05 + 0.02$ $P(A \cup B \cup C) = 0.82$

Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Komponente defekt ist, beträgt 0.82 oder 82%.

3. Erweiterung auf mehrere Ereignisse

Das Prinzip der Inklusion und Exklusion kann auf mehr als drei Ereignisse erweitert werden. Es ermöglicht die Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von (n) Ereignissen, indem man sukzessive die Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse, ihrer Paare, Dreiergruppen usw. addiert und subtrahiert.

Allgemeine Formel: $P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i \right) = \sum{i=1}^n P(A_i) - \sum{1 \leq i < j \leq n} P(A_i \cap A_j) + \sum{1 \leq i < j < k \leq n} P(A_i \cap A_j \cap A_k) - \cdots + (-1)^{n+1} P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n)$