Grundbegriffe der Mengenlehre

Die Mengenlehre ist ein grundlegender Bereich der Mathematik, der sich mit der Untersuchung von Mengen befasst. Eine Menge ist eine Zusammenfassung von verschiedenen, wohlunterschiedenen Objekten, die als Elemente der Menge bezeichnet werden. Um die Grundlagen der Mengenlehre zu verstehen, ist es wichtig, die folgenden Begriffe und Symbole zu kennen und zu verstehen.

Definitionen und Notationen

1. Menge: Eine Menge ist eine Sammlung von Objekten, die als Elemente der Menge bezeichnet werden. Eine Menge kann endlich oder unendlich viele Elemente enthalten. Die Elemente einer Menge können alles Mögliche sein: Zahlen, Personen, Buchstaben usw.

   • Beispiel: Die Menge der natürlichen Zahlen kleiner als 5 kann als $A = \{1, 2, 3, 4\} $ geschrieben werden.

2. Element: Ein Element ist ein Objekt, das zu einer Menge gehört. Wenn $a $ ein Element der Menge $A $ ist, schreiben wir $a \in A $.

   • Beispiel: In der Menge $A = \{1, 2, 3, 4\} $ ist 2 ein Element von $A $, also schreiben wir $2 \in A $.

3. Leere Menge: Die leere Menge ist die Menge, die kein Element enthält. Sie wird durch das Symbol $\emptyset $ oder $\{ \} $ dargestellt.

   • Beispiel: Die Menge aller natürlichen Zahlen, die kleiner als 0 sind, ist die leere Menge, da es keine solchen Zahlen gibt. Daher schreiben wir $\emptyset $.

4. Teilmenge: Eine Menge $A $ ist eine Teilmenge einer Menge $B $, wenn jedes Element von $A $ auch ein Element von $B $ ist. Dies wird geschrieben als $A \subseteq B $.

   • Beispiel: Wenn $A = \{1, 2\} $ und $B = \{1, 2, 3, 4\} $, dann ist $A \subseteq B $, da jedes Element von $A $ auch in $B $ enthalten ist.

5. Echte Teilmenge: Eine Menge $A $ ist eine echte Teilmenge einer Menge $B $, wenn $A \subseteq B $ gilt und es mindestens ein Element in $B $ gibt, das nicht in $A $ ist. Dies wird geschrieben als $A \subset B $.

   • Beispiel: Wenn $A = \{1, 2\} $ und $B = \{1, 2, 3, 4\} $, dann ist $A \subset B $, da $A \subseteq B $ und $3 \in B $, aber $3 \notin A $.