In der Mathematik sind Mengenoperationen grundlegende Verfahren, die es ermöglichen, verschiedene Mengen in Beziehung zu setzen und neue Mengen zu bilden. In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Mengenoperationen vorgestellt: Vereinigung, Durchschnitt, Differenz und Komplement.
Die Vereinigung zweier Mengen $A$ und $B$ ist eine Menge, die alle Elemente enthält, die in $A$, in $B$ oder in beiden Mengen enthalten sind. Die Vereinigung wird durch das Symbol $\cup$ dargestellt.
Definition: $ A \cup B = \{ x \mid x \in A \text{ oder } x \in B \} $
Beispiel: Sei $A = \{1, 2, 3\}$ und $B = \{3, 4, 5\}$. Die Vereinigung von $A$ und $B$ ist: $ A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\} $
Der Durchschnitt zweier Mengen $A$ und $B$ ist eine Menge, die alle Elemente enthält, die sowohl in $A$ als auch in $B$ enthalten sind. Der Durchschnitt wird durch das Symbol (\cap) dargestellt.
Definition: $ A \cap B = \{ x \mid x \in A \text{ und } x \in B \} $
Beispiel: Sei $A = \{1, 2, 3\}$ und $B = \{3, 4, 5\}$. Der Durchschnitt von $A$ und $B$ ist: $ A \cap B = \{3\} $
Die Differenz zweier Mengen $A$ und (B), auch als Mengendifferenz bezeichnet, ist eine Menge, die alle Elemente enthält, die in $A$ enthalten sind, aber nicht in (B). Die Differenz wird durch das Symbol $\setminus$ dargestellt.
Definition: $ A \setminus B = \{ x \mid x \in A \text{ und } x \notin B \} $
Beispiel: Sei $A = \{1, 2, 3\}$ und $B = \{3, 4, 5\}$. Die Differenz von $A$ und $B$ ist: $ A \setminus B = \{1, 2\} $
Das Komplement einer Menge $A$ in Bezug auf eine universelle Menge $U$ ist eine Menge, die alle Elemente enthält, die in $U$ enthalten sind, aber nicht in $A$. Die universelle Menge $U$ ist die Menge, die alle relevanten Objekte enthält, die in Betracht gezogen werden. Das Komplement wird durch das Symbol $A^{c}$ oder $\overline{A}$ dargestellt.
Definition: $ A^c = \{ x \mid x \in U \text{ und } x \notin A \} $
Beispiel: Sei $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ die universelle Menge und $A = \{1, 2, 3\}$. Das Komplement von $A$ in (U) ist: $ A^c = \{4, 5\} $