Aufgabe
Aufgrund der vielen Beschwerden seitens der Kundschaft will die Firma Sub die Qualität der verkauften Produkte verbessern.
- a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Bauteil das verkauft werden soll tatsächlich fehlerfrei ist, wenn eine neue Maschine gekauft wird die 80 % Bauteile fehlerfrei produziert? Alle anderen Werte ändern sich nicht.
- b) Anstelle einer neuen Maschine kann ein verbesserter Test verwendet werden. Von den fehlerfreien werden nun 98% und von den fehlerhaften 2% an die Kunden verkauft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Bauteil das verkauft werden soll tatsächlich fehlerfrei ist, wenn ein verbesserter Test verwendet wird? Alle anderen Werte ändern sich nicht.
- c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Bauteil das verkauft werden soll tatsächlich fehlerfrei ist, wenn die neue Maschine aus a) und der Test aus b) verwendet werden?
Lösungen
a) Insgesamt sind 80 % der Bauteile einwandfrei also 20 % sind defekt. Von den einwandfreien werden 90 % zum Verkauf freigegeben d.h. 10 % der einwandfreien werden vorher aussortiert. Und von den defekten werden 20% verkauft, d.h. 80 % werden aussortiert.
Im weiteren steht F für fehlerhaft bzw. F
c für fehlerfrei. Und A für aussortiert und A
c für nicht aussortiert was gerade bedeutet für den Verkauf freigegeben.
P(F) = 0,2 P(F
c) = 0,8
P(A|F) = 0,8 P(A
c|F) = 0,2
P(A|F
c) = 0,1 P(A
c|F
c) = 0,9
Gesucht wird P(F
c|A
c) also mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zum Verkauf freigegebenes Bauteil wirklich fehlerfrei?
P(F
c|A
c) = [P(A
c|F
c) · P(F
c)] ⁄ [P(A
c|F
c) · P(F
c) + P(A
c|F) · P(F)]
P(F
c|A
c) = [0,9 · 0,8] ⁄ [0,9 · 0,8 + 0,2 · 0,2]
P(F
c|A
c) = [0,72] ⁄ [0,72 + 0,04]
P(F
c|A
c) = 0,72 ⁄ 0,76
P(F
c|A
c) ≈ 0,94736842
P(F
c|A
c) ≈ 94,74 %
Wenn die neue Maschine verwendet wird, ist das Bauteil der Firma mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 94,74 % einwandfrei.
b) Insgesamt sind 50 % der Bauteile einwandfrei also 50 % sind defekt. Von den einwandfreien werden 98 % zum Verkauf freigegeben d.h. 2 % der einwandfreien werden vorher aussortiert. Und von den defekten werden 2% verkauft, d.h. 98 % werden aussortiert.
P(F) = 0,5 P(F
c) = 0,5
P(A|F) = 0,98 P(A
c|F) = 0,02
P(A|F
c) = 0,02 P(A
c|F
c) = 0,98
Gesucht wird P(F
c|A
c) also mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zum Verkauf freigegebenes Bauteil wirklich fehlerfrei?
P(F
c|A
c) = [P(A
c|F
c) · P(F
c)] ⁄ [P(A
c|F
c) · P(F
c) + P(A
c|F) · P(F)]
P(F
c|A
c) = [0,98 · 0,5] ⁄ [0,98 · 0,5 + 0,02 · 0,5]
P(F
c|A
c) = [0,49] ⁄ [0,49 + 0,01]
P(F
c|A
c) = 0,49 ⁄ 0,5
P(F
c|A
c) = 0,98
P(F
c|A
c) = 98 %
Wird der neue Test verwendet ist das Bauteil mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % einwandfrei.
c) Insgesamt sind 80 % der Bauteile einwandfrei also 20 % sind defekt. Von den einwandfreien werden 98 % zum Verkauf freigegeben d.h. 2 % der einwandfreien werden vorher aussortiert. Und von den defekten werden 2% verkauft, d.h. 98 % werden aussortiert.
P(F) = 0,2 P(F
c) = 0,8
P(A|F) = 0,98 P(A
c|F) = 0,02
P(A|F
c) = 0,02 P(A
c|F
c) = 0,98
Gesucht wird P(F
c|A
c) also mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zum Verkauf freigegebenes Bauteil wirklich fehlerfrei?
P(F
c|A
c) = [P(A
c|F
c) · P(F
c)] ⁄ [P(A
c|F
c) · P(F
c) + P(A
c|F) · P(F)]
P(F
c|A
c) = [0,98 · 0,8] ⁄ [0,98 · 0,8 + 0,02 · 0,2]
P(F
c|A
c) = [0,784] ⁄ [0,784 + 0,004]
P(F
c|A
c) = 0,784 ⁄ 0,788
P(F
c|A
c) ≈ 0,90402386
P(F
c|A
c) ≈ 99,49 %
Wird die neue Maschine und der verbesserte Test verwendet ist das Bauteil mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 99,49 % einwandfrei.