Beispiele diskreter Verteilungen

Diskrete Verteilungen sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die sich auf Zufallsvariablen beziehen, die abzählbare Werte annehmen können. Das bedeutet, die möglichen Ergebnisse können aufgelistet oder gezählt werden. Diese Werte können ganzzahlig sein, wie bei der Anzahl der Treffer in einem Wurfspiel, oder diskrete Kategorien repräsentieren, wie das Ergebnis eines Würfelwurfs.

Um die Konzepte besser zu verstehen, betrachten wir einige grundlegende Beispiele diskreter Verteilungen:

Bernoulli-Verteilung

Die Bernoulli-Verteilung ist die einfachste diskrete Verteilung. Sie beschreibt ein Experiment, das genau zwei mögliche Ausgänge hat: Erfolg (mit Wahrscheinlichkeit $p$) oder Misserfolg (mit Wahrscheinlichkeit $1 - p$). Ein klassisches Beispiel für ein Bernoulli-Experiment ist ein Münzwurf, bei dem „Kopf“ als Erfolg und „Zahl“ als Misserfolg definiert sein könnte.

• Erfolgswahrscheinlichkeit $p$: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis des Experiments ein Erfolg ist. Zum Beispiel, wenn $p = 0.5$, bedeutet das, dass bei einem Münzwurf die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ 50 % beträgt.
• Misserfolgswahrscheinlichkeit $1 - p$: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis des Experiments ein Misserfolg ist. Bei einem Münzwurf entspricht das der Wahrscheinlichkeit für „Zahl“, also ebenfalls 50 %, wenn $p = 0.5$.

Binomialverteilung

Die Binomialverteilung erweitert das Konzept der Bernoulli-Verteilung auf mehrere unabhängige Bernoulli-Experimente. Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in einer festen Anzahl von Versuchen zu haben. Die Parameter der Binomialverteilung sind:

• n: Die Anzahl der Versuche.
• p: Die Erfolgswahrscheinlichkeit in jedem einzelnen Versuch.

Zum Beispiel, wenn man eine faire Münze zehnmal wirft (n = 10) und der Erfolg als „Kopf“ definiert ist (p = 0.5), beschreibt die Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeit, genau 0, 1, 2, ..., 10 Mal „Kopf“ zu erhalten.

Geometrische Verteilung

Die geometrische Verteilung beschreibt die Anzahl der Versuche, die notwendig sind, um den ersten Erfolg in einer Serie von Bernoulli-Experimenten zu erzielen. Das bedeutet, sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der erste Erfolg beim k-ten Versuch eintritt. Hierbei ist:

• p: Die Erfolgswahrscheinlichkeit in jedem einzelnen Versuch.

Ein Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Münzwurf der erste „Kopf“ beim dritten Wurf erscheint.

Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Ereignissen zu berechnen, die in einem festen Zeitraum oder Raum auftreten, wenn die Ereignisse unabhängig voneinander und zufällig auftreten. Die Parameter der Poisson-Verteilung sind:

• λ (Lambda): Die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse in dem betrachteten Zeitraum oder Raum.

Ein typisches Beispiel ist die Anzahl der Anrufe, die bei einem Callcenter in einer Stunde eingehen.

Hypergeometrische Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl von Erfolgen bei einer Stichprobe ohne Zurücklegen aus einer endlichen Population zu erhalten. Die Parameter der hypergeometrischen Verteilung sind:

• N: Die Gesamtzahl der Elemente in der Population.
• K: Die Anzahl der Elemente in der Population, die als Erfolg definiert sind.
• n: Die Anzahl der gezogenen Elemente (Stichprobengröße).

Ein Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, in einer Gruppe von 10 gezogenen Karten aus einem Kartenspiel genau 3 Asse zu haben, wenn das Kartenspiel 52 Karten mit 4 Assen enthält.

Diese Beispiele veranschaulichen die Vielfalt und den Anwendungsbereich diskreter Verteilungen. Jede dieser Verteilungen hat spezifische Eigenschaften und Anwendungen, die sie für verschiedene praktische Probleme geeignet machen. In den folgenden Abschnitten werden wir diese Verteilungen detaillierter betrachten und ihre mathematischen Grundlagen, Eigenschaften und Anwendungen näher erläutern.