Definition und grundlegende Eigenschaften diskreter Verteilungen

Eine Verteilung in der Wahrscheinlichkeitstheorie beschreibt, wie wahrscheinlich es ist, dass verschiedene mögliche Ergebnisse eines Zufallsexperiments auftreten. Diskrete Verteilungen sind eine spezielle Art von Verteilungen, die sich dadurch auszeichnen, dass sie sich auf eine abzählbare Menge von möglichen Ergebnissen beziehen. Das bedeutet, dass die möglichen Ergebnisse entweder endlich sind oder unendlich viele, aber abzählbar, wie die natürlichen Zahlen.

Diskrete Verteilungen: Definition

Eine diskrete Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Zufallsvariable $X$ einen bestimmten Wert $x$ annimmt. Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zuordnet. Wenn wir von einer diskreten Zufallsvariable sprechen, bedeutet dies, dass $X$ nur bestimmte, klar abgegrenzte Werte annehmen kann.

Formal wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen $X$ durch $P(X = x)$ angegeben, wobei $P(X = x)$ die Wahrscheinlichkeit ist, dass $X$ den Wert $x$ annimmt. Diese Wahrscheinlichkeiten müssen zwei Bedingungen erfüllen:

1. Nichtnegativität: Für jeden möglichen Wert $x$ gilt $P(X = x) \geq 0$.
2. Normiertheit: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Werte von $X$ muss 1 ergeben, also $\sum P(X = x) = 1$.

Grundlegende Eigenschaften diskreter Verteilungen

1. Wahrscheinlichkeitsfunktion (Probability Mass Function, PMF):

   • Die PMF, auch Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion genannt, ist eine Funktion, die jedem möglichen Wert einer diskreten Zufallsvariablen eine Wahrscheinlichkeit zuordnet. Für eine Zufallsvariable $X$ und einen möglichen Wert $x$ wird die PMF als $P(X = x)$ geschrieben. Zum Beispiel, wenn wir einen fairen Würfel werfen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ (die Zufallsvariable, die das Würfelergebnis repräsentiert) einen bestimmten Wert annimmt, $P(X = x) = \frac{1}{6}$ für $x$ gleich 1, 2, 3, 4, 5 oder 6.

2. Kumulative Verteilungsfunktion (Cumulative Distribution Function, CDF):

   • Die CDF gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Zufallsvariable $X$ einen Wert kleiner oder gleich einem bestimmten Wert $x$ annimmt. Sie wird als $F(x) = P(X \leq x)$ bezeichnet. Die CDF ist eine nicht abnehmende Funktion, die von 0 bis 1 reicht. Sie hilft, die Gesamtwahrscheinlichkeit bis zu einem bestimmten Punkt zu bestimmen.

3. Erwartungswert (Erwartungswert, Mean oder Expected Value):

   • Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen $X$ ist der Durchschnittswert, den man erwarten würde, wenn man ein Zufallsexperiment unendlich oft durchführt. Er wird durch $E(X) = \sum x \cdot P(X = x)$ berechnet, wobei die Summe über alle möglichen Werte von $X$ läuft. Der Erwartungswert gibt eine Vorstellung davon, wo der "Schwerpunkt" der Verteilung liegt.

4. Varianz und Standardabweichung:

   • Die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen $X$ misst, wie stark die Werte von $X$ um den Erwartungswert streuen. Sie wird durch $\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2]$ berechnet. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz und gibt an, wie weit die Werte im Durchschnitt vom Erwartungswert entfernt sind. Sie wird als $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$ bezeichnet.

5. Beispiele für diskrete Verteilungen:

   • Es gibt viele verschiedene diskrete Verteilungen, die in der Praxis häufig verwendet werden. Dazu gehören die Bernoulli-Verteilung, die Binomialverteilung, die Poisson-Verteilung und die geometrische Verteilung. Jede dieser Verteilungen hat spezifische Eigenschaften und Anwendungen, die in den folgenden Kapiteln detailliert beschrieben werden.

Zusammenfassung

Diskrete Verteilungen spielen eine zentrale Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Sie ermöglichen es, die Wahrscheinlichkeiten für klar abgegrenzte Ereignisse zu berechnen und zu analysieren. Die grundlegenden Konzepte wie Wahrscheinlichkeitsfunktion, kumulative Verteilungsfunktion, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung sind essenziell, um die Eigenschaften und das Verhalten von diskreten Zufallsvariablen zu verstehen. Indem wir diese Konzepte auf spezifische Verteilungen anwenden, können wir komplexe statistische Probleme modellieren und lösen.