Definition und Parameter (λ)

Die Exponentialverteilung ist eine wichtige stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die häufig in der Statistik und in der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet wird. Sie wird oft verwendet, um die Zeit zwischen Ereignissen in einem Poisson-Prozess zu modellieren. Ein Poisson-Prozess ist ein stochastischer Prozess, bei dem Ereignisse kontinuierlich und unabhängig voneinander auftreten.

Definition der Exponentialverteilung: Eine Zufallsvariable (X) folgt einer Exponentialverteilung mit dem Parameter $\lambda$ (lambda), wenn ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) durch die folgende Formel gegeben ist:

$f(x; \lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{für } x \geq 0 \\ 0 & \text{für } x < 0 \end{cases} $

Hierbei ist:

• $f(x; \lambda)$ die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
• $x$ die Zeit oder der Abstand zwischen den Ereignissen.
• $\lambda$ der Parameter der Exponentialverteilung, der die Rate, mit der Ereignisse auftreten, beschreibt.

Parameter $\lambda$: Der Parameter $\lambda$ (lambda) ist ein positiver Wert, der als Rate-Parameter oder Intensitätsparameter bezeichnet wird. Er gibt die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse pro Zeiteinheit an. Zum Beispiel, wenn $\lambda = 2$, bedeutet das, dass im Durchschnitt 2 Ereignisse pro Zeiteinheit auftreten.

Eigenschaften der Exponentialverteilung:

1. Erwartungswert (Mittelwert): Der Erwartungswert (E(X)) einer exponentialverteilten Zufallsvariablen (X) ist der Kehrwert des Parameters $\lambda$:

   $E(X) = \frac{1}{\lambda}$

   Das bedeutet, wenn die Rate $\lambda$ hoch ist, ist die durchschnittliche Zeit zwischen den Ereignissen klein, und umgekehrt.

2. Varianz: Die Varianz (Var(X)) einer exponentialverteilten Zufallsvariablen (X) ist der Kehrwert des Quadrats des Parameters $\lambda$:

   $Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}$

   Die Varianz misst die Streuung der Zeitintervalle um den Mittelwert.

Beispiel: Angenommen, die Ankunftsrate von Kunden in einem Geschäft beträgt im Durchschnitt 5 Kunden pro Stunde. Dies bedeutet, dass die Rate $\lambda = 5$ Kunden pro Stunde beträgt. Die Zeit zwischen den Ankünften der Kunden wäre dann exponentialverteilt mit $\lambda = 5$.

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zeit (X) zwischen den Ankünften wäre:

$f(x; 5) = \begin{cases} 5 e^{-5x} & \text{für } x \geq 0 \\ 0 & \text{für } x < 0 \end{cases} $

Der Erwartungswert der Zeit zwischen den Kundenankünften wäre:

$E(X) = \frac{1}{5} = 0,2 \text{ Stunden}$

Die Varianz wäre:

$Var(X) = \frac{1}{5^2} = 0,04 \text{ Stunden}^2$

Zusammengefasst, die Exponentialverteilung ist nützlich für die Modellierung der Zeitintervalle zwischen aufeinanderfolgenden Ereignissen in einem Poisson-Prozess, und sie wird durch den Parameter $\lambda$ bestimmt, der die Rate der Ereignisse pro Zeiteinheit angibt.