Die Exponentialverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die häufig verwendet wird, um die Zeit zwischen Ereignissen in einem Poisson-Prozess zu modellieren. Ein Poisson-Prozess ist ein stochastischer Prozess, bei dem Ereignisse zufällig mit einer konstanten durchschnittlichen Rate auftreten. Zum Beispiel kann die Exponentialverteilung verwendet werden, um die Zeit zwischen Anrufen bei einem Callcenter oder die Lebensdauer von Geräten zu modellieren.
Parameter der Exponentialverteilung
Die Exponentialverteilung wird durch einen einzigen Parameter $\lambda$ (lambda) charakterisiert, der die Rate oder Intensität des Prozesses darstellt. $\lambda$ ist eine positive reelle Zahl und gibt an, wie häufig die Ereignisse im Durchschnitt auftreten. Der Parameter $\lambda$ wird oft als "Rateparameter" bezeichnet.
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF)
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) der Exponentialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable (X) einen bestimmten Wert (x) annimmt. Die PDF der Exponentialverteilung ist definiert als:
$f(x; \lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{für } x \geq 0, \\ 0 & \text{für } x < 0. \end{cases} $
Hierbei ist:
Diese Funktion beschreibt, wie die Wahrscheinlichkeiten über verschiedene Werte von $x$ verteilt sind.
Erwartungswert und Varianz
Der Erwartungswert (auch Mittelwert genannt) einer Verteilung gibt den durchschnittlichen Wert an, den die Zufallsvariable annimmt. Für die Exponentialverteilung ist der Erwartungswert $E(X)$ gegeben durch:
$E(X) = \frac{1}{\lambda}$
Dies bedeutet, dass die durchschnittliche Zeit bis zum nächsten Ereignis (1/$\lambda$) beträgt.
Die Varianz einer Verteilung misst, wie stark die Werte der Zufallsvariable um den Erwartungswert streuen. Für die Exponentialverteilung ist die Varianz $Var(X)$ gegeben durch:
$Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}$
Dies zeigt, dass die Streuung der Zeit bis zum nächsten Ereignis quadratisch mit dem Kehrwert des Rateparameters zusammenhängt.
Gedächtnislosigkeit
Eine besondere Eigenschaft der Exponentialverteilung ist ihre Gedächtnislosigkeit (Memorylessness). Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in einer bestimmten Zeitspanne eintritt, unabhängig davon ist, wie viel Zeit bereits vergangen ist. Mathematisch ausgedrückt bedeutet dies:
$P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$
Dies besagt, dass die verbleibende Zeit bis zum nächsten Ereignis (gegeben, dass bereits (s) Einheiten Zeit vergangen sind) nur von der zukünftigen Zeitspanne (t) und nicht von der bereits vergangenen Zeit (s) abhängt.
Anwendungsbeispiele
Die Exponentialverteilung findet in vielen Bereichen Anwendung: