In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit verschiedenen Mittelwerten, die auf den Merkmalswerten einer Datenreihe basieren. Mittelwerte sind zentrale Tendenzen in einer Datenreihe und geben einen repräsentativen Wert für eine Menge von Daten an. Die drei häufigsten Mittelwerte sind das arithmetische Mittel, das geometrische Mittel und das harmonische Mittel.
Arithmetisches Mittel
Das arithmetische Mittel, oft einfach als Durchschnitt bezeichnet, ist der am häufigsten verwendete Mittelwert. Es wird berechnet, indem man die Summe aller Datenwerte durch die Anzahl der Werte teilt. Mathematisch ausgedrückt wird das arithmetische Mittel $\bar{x}$ einer Datenreihe $x_1, x_2, ..., x_n$ wie folgt berechnet:
$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$
Hierbei steht $n$ für die Anzahl der Datenwerte und $x_i$ für den einzelnen Datenwert.
Beispiel: Angenommen, wir haben die Datenwerte 4, 8, 6, 5 und 7. Das arithmetische Mittel berechnet sich wie folgt:
$\bar{x} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 7}{5} = \frac{30}{5} = 6$
Geometrisches Mittel
Das geometrische Mittel wird verwendet, wenn die Datenwerte Produkte darstellen oder wenn man das durchschnittliche Wachstum über mehrere Perioden hinweg berechnen möchte. Es ist die n-te Wurzel des Produkts aller Datenwerte. Mathematisch ausgedrückt wird das geometrische Mittel $G$ einer Datenreihe $x_1, x_2, ..., x_n$ wie folgt berechnet:
$G = \left(\prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}}$
Hierbei steht $\prod$ für das Produkt aller Werte.
Beispiel: Angenommen, wir haben die Datenwerte 1, 3 und 9. Das geometrische Mittel berechnet sich wie folgt:
$G = \left(1 \cdot 3 \cdot 9\right)^{\frac{1}{3}} = \left(27\right)^{\frac{1}{3}} = 3$
Harmonisches Mittel
Das harmonische Mittel wird verwendet, wenn es sich um Verhältnisse oder Raten handelt, wie zum Beispiel Geschwindigkeiten. Es ist der Kehrwert des Durchschnitts der Kehrwerte der Datenwerte. Mathematisch ausgedrückt wird das harmonische Mittel $H$ einer Datenreihe $x_1, x_2, ..., x_n$ wie folgt berechnet:
$H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}$
Beispiel: Angenommen, wir haben die Datenwerte 2, 3 und 6. Das harmonische Mittel berechnet sich wie folgt:
$H = \frac{3}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)} = \frac{3}{\left(0.5 + 0.333 + 0.167\right)} = \frac{3}{1} = 3$
Beziehung zwischen den Mittelwerten
Die Beziehung zwischen den Mittelwerten lässt sich durch die Ungleichung des harmonischen, geometrischen und arithmetischen Mittels (auch als AM-GM-HM Ungleichung bekannt) beschreiben. Diese besagt, dass für jede Menge positiver Zahlen das harmonische Mittel immer kleiner oder gleich dem geometrischen Mittel und das geometrische Mittel immer kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel ist:
$H \leq G \leq \bar{x}$
Diese Beziehung zeigt, dass das arithmetische Mittel tendenziell den höchsten Wert und das harmonische Mittel tendenziell den niedrigsten Wert hat. Dies liegt daran, dass das arithmetische Mittel besonders durch hohe Werte beeinflusst wird, während das harmonische Mittel besonders durch niedrige Werte beeinflusst wird.
Anwendungsbeispiele