Bestimmung der Saisonkomponente

Einführung

Die Zeitreihenanalyse ist ein Bereich der Statistik, der sich mit der Untersuchung von Daten beschäftigt, die über einen bestimmten Zeitraum hinweg erhoben wurden. Eine wichtige Aufgabe in der Zeitreihenanalyse ist die Identifizierung und Trennung der verschiedenen Komponenten, aus denen eine Zeitreihe besteht. Eine dieser Komponenten ist die Saisonkomponente, die saisonale Schwankungen in den Daten widerspiegelt. Diese Schwankungen treten regelmäßig in festgelegten Intervallen (z.B. monatlich, vierteljährlich) auf.

Grundbegriffe

Bevor wir die Methoden zur Bestimmung der Saisonkomponente erklären, ist es wichtig, einige grundlegende Begriffe zu verstehen:

• Zeitreihe: Eine Zeitreihe ist eine Folge von Datenpunkten, die in regelmäßigen Abständen über einen Zeitraum hinweg erfasst werden.
• Saisonalität: Saisonalität bezieht sich auf Muster oder Schwankungen, die sich regelmäßig innerhalb eines Jahres wiederholen. Beispiele hierfür sind der monatliche Umsatz eines Einzelhandelsgeschäfts, der während der Weihnachtszeit ansteigt, oder die monatliche Temperatur, die im Sommer höher ist als im Winter.
• Komponenten einer Zeitreihe: Eine Zeitreihe kann in verschiedene Komponenten zerlegt werden:
  • Trend: Die langfristige Bewegung der Daten in eine bestimmte Richtung.
  • Saisonale Komponente: Regelmäßige, wiederkehrende Muster innerhalb eines Jahres.
  • Zyklische Komponente: Schwankungen, die länger als ein Jahr dauern.
  • Zufällige Komponente: Unregelmäßige Schwankungen, die keine erkennbare Regelmäßigkeit aufweisen.

Methoden zur Bestimmung der Saisonkomponente

Es gibt verschiedene Methoden, um die saisonale Komponente einer Zeitreihe zu bestimmen. Zwei der gängigsten Methoden sind das gleitende Durchschnittsverfahren und das Multiplikative Saisonmodell.

1. Gleitendes Durchschnittsverfahren (Moving Average Method)

   Das gleitende Durchschnittsverfahren glättet die Zeitreihe, um die saisonalen Effekte zu extrahieren. Der grundlegende Ablauf besteht aus den folgenden Schritten:

   • Berechnung des gleitenden Durchschnitts: Ein gleitender Durchschnitt über eine Periode von einem Jahr wird berechnet, um den Trend und die saisonalen Effekte zu glätten.
   • Glättung der Zeitreihe: Dieser Durchschnitt wird entlang der Zeitreihe verschoben, wobei immer ein Jahr an Daten berücksichtigt wird.
   • Berechnung der saisonalen Indizes: Nachdem der Trend durch die gleitenden Durchschnitte entfernt wurde, können die saisonalen Indizes berechnet werden, indem die ursprünglichen Daten durch den geglätteten Durchschnitt dividiert werden.

   Beispiel: Angenommen, wir haben eine monatliche Zeitreihe, die die Verkaufszahlen eines Jahres darstellt. Der gleitende Durchschnitt über 12 Monate kann wie folgt berechnet werden:

   $MA_t = \frac{1}{12} (X_{t-5} + X_{t-4} + \cdots + X_{t} + \cdots + X<{t+4} + X_{t+5})$

   Hierbei ist $MA_t$ der gleitende Durchschnitt zum Zeitpunkt $t$, und $X_{t}$ sind die ursprünglichen Verkaufszahlen zum Zeitpunkt $t$.

2. Multiplikatives Saisonmodell

   Das Multiplikative Saisonmodell geht davon aus, dass die saisonale Komponente die Daten multiplikativ beeinflusst. Das bedeutet, dass die beobachteten Werte als Produkt von Trend, Saisonalität und Zufälligkeit dargestellt werden können:

   $Y_t = T_t \times S_t \times E_t$

   Dabei ist $Y_t$ der beobachtete Wert zur Zeit $t$, $T_t$ der Trendwert, $S_t$ der saisonale Faktor und $E_t$ die zufällige Komponente. Um die saisonalen Faktoren zu bestimmen, folgt man diesen Schritten:

   • Entfernen des Trends: Berechne den Trend, indem du einen gleitenden Durchschnitt oder eine andere Methode anwendest, und teile die beobachteten Werte durch diesen Trend.
   • Berechnung der saisonalen Faktoren: Nachdem der Trend entfernt wurde, verbleiben die saisonalen und zufälligen Komponenten. Die saisonalen Faktoren können dann berechnet werden, indem man die verbleibenden Werte für jede Saisonperiode mittelt.

   Beispiel: Wenn der Trend mittels gleitender Durchschnitte entfernt wurde und die resultierenden Werte für Januar eines Jahres 1,2, für Februar 0,9 usw. sind, dann können die saisonalen Faktoren als Durchschnitt dieser Werte über mehrere Jahre hinweg berechnet werden.

Beispielhafte Anwendung

Nehmen wir an, wir analysieren die monatlichen Verkaufszahlen eines Einzelhandelsgeschäfts über mehrere Jahre. Die Schritte zur Bestimmung der saisonalen Komponente könnten wie folgt aussehen:

1. Berechne den gleitenden Durchschnitt über 12 Monate, um den Trend zu glätten.
2. Teile die ursprünglichen monatlichen Verkaufszahlen durch den gleitenden Durchschnitt, um die saisonalen Effekte zu isolieren.
3. Berechne den Durchschnitt dieser Quotienten für jeden Monat über mehrere Jahre hinweg, um die saisonalen Indizes zu erhalten.

Zum Beispiel:

• Januar: Durchschnitt der Quotienten = 1,1
• Februar: Durchschnitt der Quotienten = 0,9
• etc.

Diese saisonalen Indizes geben uns einen klaren Einblick in die wiederkehrenden Muster und helfen, die Verkaufszahlen besser zu verstehen und zukünftige Werte vorherzusagen.

Zusammenfassung

Die Bestimmung der Saisonkomponente ist ein wesentlicher Schritt in der Zeitreihenanalyse. Durch die Identifizierung und Isolierung der saisonalen Effekte können wir besser verstehen, wie Daten über die Zeit hinweg schwanken, und genauere Vorhersagen treffen. Methoden wie das gleitende Durchschnittsverfahren und das Multiplikative Saisonmodell bieten systematische Ansätze, um diese Muster zu erkennen und zu analysieren.