Korrelation

Einführung in die Korrelation

Die Korrelation ist ein statistisches Maß, das die Stärke und Richtung des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Variablen beschreibt. Mit anderen Worten, sie gibt an, wie stark und in welche Richtung zwei Variablen miteinander verknüpft sind.

Grundbegriffe und Definitionen

• Variable: Eine Variable ist ein Merkmal oder eine Eigenschaft, die in einer Studie gemessen oder beobachtet wird und verschiedene Werte annehmen kann. Beispiele sind Größe, Gewicht, Einkommen, Temperatur usw.
• Korrelation: Die Korrelation misst die Beziehung zwischen zwei Variablen. Sie gibt an, ob und wie stark die Veränderung einer Variable mit der Veränderung der anderen Variable zusammenhängt.
• Positive Korrelation: Wenn eine Zunahme der einen Variable mit einer Zunahme der anderen Variable einhergeht, spricht man von einer positiven Korrelation. Beispiel: Größere Körpergröße und höheres Gewicht.
• Negative Korrelation: Wenn eine Zunahme der einen Variable mit einer Abnahme der anderen Variable einhergeht, spricht man von einer negativen Korrelation. Beispiel: Zunehmendes Alter und abnehmende körperliche Aktivität.
• Keine Korrelation: Wenn keine systematische Beziehung zwischen den beiden Variablen besteht, spricht man von keiner Korrelation. Beispiel: Schuhgröße und Intelligenz.

Korrelation vs. Kausalität

Es ist wichtig zu betonen, dass Korrelation nicht gleich Kausalität bedeutet. Nur weil zwei Variablen korrelieren, bedeutet das nicht, dass die eine Variable die andere verursacht. Es könnte andere Faktoren geben, die die beobachtete Beziehung beeinflussen.

Berechnung des Korrelationskoeffizienten

Der Korrelationskoeffizient ist eine Zahl, die die Stärke und Richtung der Korrelation quantifiziert. Der gebräuchlichste Korrelationskoeffizient ist der Pearson-Korrelationskoeffizient, der wie folgt berechnet wird:

$r = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{\sqrt{\sum{(x_i - \bar{x})^2} \sum{(y_i - \bar{y})^2}}}$

• (r): Der Pearson-Korrelationskoeffizient.
• (x_i): Der i-te Wert der ersten Variable.
• (y_i): Der i-te Wert der zweiten Variable.
• (\bar{x}): Der Mittelwert der ersten Variable.
• (\bar{y}): Der Mittelwert der zweiten Variable.

Der Wert des Korrelationskoeffizienten (r) liegt immer zwischen -1 und 1:

• r = 1: Perfekte positive Korrelation.
• r = -1: Perfekte negative Korrelation.
• r = 0: Keine Korrelation.

Interpretation des Korrelationskoeffizienten

• Starke Korrelation: Ein (r)-Wert nahe bei 1 oder -1 deutet auf eine starke Beziehung zwischen den Variablen hin.
• Mittlere Korrelation: Ein (r)-Wert zwischen 0,5 und 0,7 (oder -0,5 und -0,7) deutet auf eine mittlere Beziehung hin.
• Schwache Korrelation: Ein (r)-Wert zwischen 0 und 0,5 (oder -0,5 und 0) deutet auf eine schwache Beziehung hin.

Grafische Darstellung der Korrelation

Die Beziehung zwischen zwei Variablen kann auch grafisch mit einem Streudiagramm (Scatterplot) dargestellt werden. In einem Streudiagramm werden die Wertepaare der beiden Variablen als Punkte in einem Koordinatensystem geplottet. Die Muster dieser Punkte können helfen, die Art der Beziehung zu erkennen:

• Positive Korrelation: Die Punkte tendieren dazu, von links unten nach rechts oben zu verlaufen.
• Negative Korrelation: Die Punkte tendieren dazu, von links oben nach rechts unten zu verlaufen.
• Keine Korrelation: Die Punkte sind zufällig verteilt, ohne ein klares Muster.

Anwendungsbeispiele der Korrelation

• Wirtschaft: Untersuchung des Zusammenhangs zwischen Arbeitslosenquote und Inflationsrate.
• Medizin: Beziehung zwischen Körpergewicht und Blutdruck.
• Bildung: Zusammenhang zwischen der Anzahl der Studienstunden und den Prüfungsergebnissen.

Einschränkungen der Korrelation

• Nicht-lineare Beziehungen: Der Pearson-Korrelationskoeffizient misst nur lineare Beziehungen. Nicht-lineare Beziehungen können nicht angemessen durch (r) beschrieben werden.
• Ausreißer: Extremwerte können die Berechnung des Korrelationskoeffizienten stark beeinflussen und die Beziehung verzerren.
• Kausalität: Wie bereits erwähnt, beweist Korrelation keine Kausalität. Es könnte eine dritte Variable geben, die die beobachtete Beziehung verursacht.

Zusammengefasst bietet die Korrelation eine einfache und effektive Methode, um die Beziehung zwischen zwei Variablen zu untersuchen. Sie ist ein grundlegendes Werkzeug in der Statistik, das in vielen Disziplinen Anwendung findet. Wichtig ist jedoch, die Ergebnisse immer kritisch zu betrachten und im Kontext weiterer Analysen zu interpretieren.