Einführung in die Regression
Regression ist ein statistisches Verfahren, das den Zusammenhang zwischen zwei oder mehr Variablen untersucht. Eine Variable wird als abhängig (oder Zielvariable) betrachtet, während die anderen als unabhängig (oder Prädiktorvariablen) betrachtet werden. Das Ziel der Regression ist es, die Form dieser Beziehung zu bestimmen und Vorhersagen über die abhängige Variable basierend auf den unabhängigen Variablen zu machen.
Beispiel für eine einfache lineare Regression
In der einfachsten Form der Regression, der linearen Regression, wird eine lineare Beziehung zwischen einer abhängigen und einer unabhängigen Variable angenommen. Dies bedeutet, dass wir versuchen, die Beziehung durch eine gerade Linie zu beschreiben.
Daten und Streudiagramme
Angenommen, wir haben Daten, die die Beziehung zwischen der Anzahl der Lernstunden (unabhängige Variable) und den erzielten Punkten in einem Test (abhängige Variable) darstellen. Diese Daten können in einem Streudiagramm dargestellt werden, bei dem jede Punktwolke ein Paar von Werten repräsentiert (Lernstunden, Testergebnisse).
Empirische Regressionslinie
Eine empirische Regressionslinie ist eine gerade Linie, die durch die Datenpunkte in einem Streudiagramm gelegt wird, um die Beziehung zwischen den beiden Variablen darzustellen. Diese Linie wird so gewählt, dass sie die Summe der quadratischen Abstände der Datenpunkte zur Linie minimiert. Dieses Verfahren wird als Methode der kleinsten Quadrate bezeichnet.
Gleichung der Regressionslinie
Die Regressionslinie kann durch die Gleichung einer Geraden beschrieben werden:
$y = a + bx$
Bestimmung der Regressionsparameter
Die Werte von $a$ und $b$ werden aus den Daten berechnet. Dies geschieht durch die Minimierung der Summe der Quadrate der Abstände der Datenpunkte von der Regressionslinie, wie zuvor erwähnt.
Interpretation der Regressionslinie
Die Steigung $b$ gibt an, wie stark sich die abhängige Variable (Testergebnisse) verändert, wenn die unabhängige Variable (Lernstunden) um eine Einheit zunimmt. Ein positiver Wert von $b$ bedeutet, dass es eine positive Beziehung zwischen den Variablen gibt: mehr Lernstunden führen zu höheren Testergebnissen. Ein negativer Wert von $b$ würde auf eine negative Beziehung hinweisen.
Der Achsenabschnitt $a$ gibt den Wert von $y$ an, wenn $x$ gleich null ist. In unserem Beispiel wäre dies das erwartete Testergebnis, wenn keine Lernstunden investiert werden.
Anwendung und Grenzen der Regressionsanalyse
Die Regressionsanalyse kann verwendet werden, um Vorhersagen zu treffen, Hypothesen zu testen und Zusammenhänge zwischen Variablen zu verstehen. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass Korrelation nicht Kausalität bedeutet. Nur weil zwei Variablen miteinander korrelieren, bedeutet das nicht zwangsläufig, dass die eine die andere verursacht.
Beispielhafte Berechnung
Nehmen wir an, wir haben die folgenden Daten:
Die Berechnung der Regressionslinie für diese Daten führt zu einer Gleichung der Form $y = 1 + 2x$. Dies bedeutet, dass jede zusätzliche Lernstunde im Durchschnitt zu einem Anstieg von 2 Punkten im Testergebnis führt.
Visuelle Darstellung
Ein Streudiagramm mit den gegebenen Datenpunkten und der Regressionslinie kann helfen, die Beziehung visuell zu verstehen. Die Linie zeigt die beste Schätzung der Beziehung basierend auf den vorhandenen Daten.