Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Theoretische Grundlagen

Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit ist ein grundlegendes Konzept in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, das verwendet wird, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, indem man die Wahrscheinlichkeiten dieses Ereignisses unter verschiedenen Bedingungen kombiniert. Bevor wir in die Details des Satzes eintauchen, lassen Sie uns einige wichtige Begriffe und Konzepte klären, die wir benötigen, um den Satz vollständig zu verstehen.

Grundlegende Begriffe

Ereignis: In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein Ereignis ein Ergebnis oder eine Gruppe von Ergebnissen eines Zufallsexperiments. Zum Beispiel kann das Ereignis "beim Werfen eines Würfels eine gerade Zahl erhalten" als {2, 4, 6} beschrieben werden.

Zufallsexperiment: Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen Ergebnis nicht vorhergesagt werden kann. Beispiele für Zufallsexperimente sind das Werfen eines Würfels oder das Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel.

Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist ein Maß dafür, wie wahrscheinlich es ist, dass das Ereignis eintritt. Sie wird als Zahl zwischen 0 und 1 angegeben, wobei 0 bedeutet, dass das Ereignis niemals eintritt, und 1 bedeutet, dass es sicher eintritt.

Bedingte Wahrscheinlichkeit: Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A gegeben ein anderes Ereignis B ist die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, unter der Bedingung, dass B bereits eingetreten ist. Sie wird als P(A|B) geschrieben.

Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Angenommen, wir haben ein Zufallsexperiment und ein Ereignis A, dessen Wahrscheinlichkeit wir berechnen möchten. Weiterhin nehmen wir an, dass es eine Menge von Ereignissen B1, B2, ..., Bn gibt, die eine Partition des Ereignisraums Ω bilden. Eine Partition des Ereignisraums bedeutet, dass die Ereignisse B1, B2, ..., Bn paarweise disjunkt sind (das heißt, sie überschneiden sich nicht) und dass ihre Vereinigung den gesamten Ereignisraum ergibt (das heißt, eines dieser Ereignisse muss eintreten).

Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A als Summe der bedingten Wahrscheinlichkeiten von A gegeben $B_i$, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit von $B_i$, berechnet werden kann. Mathematisch ausgedrückt:

$ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i) $

Erklärung der Formel

• $P(A)$: Dies ist die Gesamtwahrscheinlichkeit des Ereignisses A, die wir berechnen möchten.
• $P(A|B_i)$: Dies ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, gegeben dass $B_i$ eingetreten ist.
• $P(B_i)$: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $B_i$ eintritt.
• $\sum$: Das Summenzeichen bedeutet, dass wir die Produkte $P(A|B_i)$ und $P(B_i)$ für alle i von 1 bis n addieren.

Beispiel zur Verdeutlichung

Betrachten wir ein Beispiel zur Anwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit. Angenommen, wir haben drei Urnen:

• Urne 1 enthält 2 rote und 3 blaue Kugeln.
• Urne 2 enthält 1 rote und 1 blaue Kugel.
• Urne 3 enthält 4 rote und 1 blaue Kugel.

Ein Zufallsexperiment besteht darin, eine der drei Urnen zufällig auszuwählen und dann eine Kugel aus dieser Urne zu ziehen. Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine rote Kugel gezogen wird.

1. Ereignisse definieren:

   • A: "Es wird eine rote Kugel gezogen."
   • B1: "Urne 1 wird ausgewählt."
   • B2: "Urne 2 wird ausgewählt."
   • B3: "Urne 3 wird ausgewählt."

2. Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $B_i$:

   • P(B1) = P(B2) = P(B3) = 1/3 (da jede Urne gleich wahrscheinlich ausgewählt wird).

3. Bedingte Wahrscheinlichkeiten P(A|B_i):

   • P(A|B1) = 2/5 (2 rote von insgesamt 5 Kugeln in Urne 1).
   • P(A|B2) = 1/2 (1 rote von insgesamt 2 Kugeln in Urne 2).
   • P(A|B3) = 4/5 (4 rote von insgesamt 5 Kugeln in Urne 3).

4. Satz der totalen Wahrscheinlichkeit anwenden: $ P(A) = P(A|B1) \cdot P(B1) + P(A|B2) \cdot P(B2) + P(A|B3) \cdot P(B3) $ $ P(A) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} $ $ P(A) = \frac{2}{15} + \frac{1}{6} + \frac{4}{15} $ $ P(A) = \frac{2}{15} + \frac{2.5}{15} + \frac{4}{15} $ $ P(A) = \frac{8.5}{15} $ $ P(A) = \frac{17}{30} $

Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Kugel gezogen wird, 17/30.

Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit ermöglicht es uns, komplexe Wahrscheinlichkeitsprobleme zu lösen, indem wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in Teilwahrscheinlichkeiten aufteilen und diese summieren.